Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{15} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{15} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \sqrt{15}$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 7$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 7)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{15^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{15 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.2.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{15 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Paso 5.3.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{15 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}$

Paso 5.3.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{15 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Paso 5.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{1})}$

Paso 5.3.3.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3)}$

Paso 5.3.4

Multiplica $- (4 \cdot 3)$ .

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Paso 5.3.4.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\sqrt{15 - 1 \cdot 12}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\sqrt{15 - 12}$

Paso 5.3.5

Resta $12$ de $15$ .

$\sqrt{3}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 7 + \sqrt{15})$

Paso 6.3

El segundo vértice de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 7 - (\sqrt{15}))$

Paso 6.5

Simplifica.

$(0, 7 - \sqrt{15})$

Paso 6.6

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 7 + \sqrt{3})$

Paso 7.3

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 7 - (\sqrt{3}))$

Paso 7.5

Simplifica.

$(0, 7 - \sqrt{3})$

Paso 7.6

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{15^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{15 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{1})}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3)}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.5

Multiplica $- (4 \cdot 3)$ .

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Paso 8.3.1.5.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{15 - 1 \cdot 12}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{\sqrt{15 - 12}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.6

Resta $12$ de $15$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.2

Combina $\sqrt{3}$ y $\sqrt{15}$ en un solo radical.

$\sqrt{\frac{3}{15}}$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $3$ y $15$ .

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Paso 8.3.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{15}}$

Paso 8.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}}$

Paso 8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}}$

Paso 8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1}{5}}$

Paso 8.3.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{5}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 8.3.7.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 8.3.7.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 8.3.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 8.3.7.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 8.3.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 8.3.7.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 7)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 10