Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$5 x^{2} + 14 x - 3 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Paso 2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ y cuya suma es $b = 14$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $14$ de $14 x$ .

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $14$ como $- 1$ más $15$

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $5 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $5 x - 1$ igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $5 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $5 x = 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{5}$

$x > \frac{1}{5}$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$5 {(- 6)}^{2} + 14 (- 6) - 3 \geq 0$

Paso 2.8.1.3

$93$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < \frac{1}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < \frac{1}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$5 {(0)}^{2} + 14 (0) - 3 \geq 0$

Paso 2.8.2.3

$- 3$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$5 {(3)}^{2} + 14 (3) - 3 \geq 0$

Paso 2.8.3.3

$84$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Falso

$x > \frac{1}{5}$ Verdadero

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Falso

$x > \frac{1}{5}$ Verdadero

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 3$ o $x \geq \frac{1}{5}$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ como ${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{1} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.3.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ y cuya suma es $b = 14$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Factoriza $14$ de $14 x$ .

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Paso 4.3.1.1.2

Reescribe $14$ como $- 1$ más $15$

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Paso 4.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Paso 4.3.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.3.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Paso 4.3.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Paso 4.3.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Paso 4.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 4.3.3

Establece $5 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.3.1

Establece $5 x - 1$ igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Paso 4.3.3.2

Resuelve $5 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 1$

Paso 4.3.3.2.2

Divide cada término en $5 x = 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 4.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 4.3.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Paso 4.3.4

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.4.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 4.3.4.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 4.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Paso 4.4

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$ sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup [\frac{1}{5}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - 3, x \geq \frac{1}{5}}$

Paso 6