Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$ como una ecuación.

$y = \frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{{(y - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{{(y - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5} = x$ .

$\frac{{(y - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $5$ .

$5 \frac{{(y - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5} = 5 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{{(y - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5} = 5 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

${(y - 9)}^{\frac{1}{3}} = 5 x$

Paso 3.4

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(y - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(5 x)}^{3}$

Paso 3.5

Simplifica el exponente.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Simplifica ${({(y - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(5 x)}^{3}$

Paso 3.5.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(5 x)}^{3}$

Paso 3.5.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y - 9)}^{1} = {(5 x)}^{3}$

Paso 3.5.1.1.2

Simplifica.

$y - 9 = {(5 x)}^{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${(5 x)}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 x$ .

$y - 9 = 5^{3} x^{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$y - 9 = 125 x^{3}$

Paso 3.6

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 125 x^{3} + 9$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 9$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 9$ es la inversa de $f (x) = \frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 {(\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} + 9$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{{({(x - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 9$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.2.3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 9$

Paso 5.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 9$

Paso 5.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{x - 9}{5^{3}}) + 9$

Paso 5.2.3.2.2

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{x - 9}{5^{3}}) + 9$

Paso 5.2.3.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{x - 9}{125}) + 9$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $125$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{x - 9}{125}) + 9$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = x - 9 + 9$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 9 + 9$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 9$ y $9$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (125 x^{3} + 9)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{{((125 x^{3} + 9) - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Combina los términos opuestos en $125 x^{3} + 9 - 9$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Resta $9$ de $9$ .

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{{(125 x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Paso 5.3.3.1.2

Suma $125 x^{3}$ y $0$ .

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{{(125 x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla del producto a $125 x^{3}$ .

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{125^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{{(5^{3})}^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Paso 5.3.3.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Paso 5.3.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Paso 5.3.3.6

Evalúa el exponente.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Paso 5.3.3.7

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.3.3.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 x^{3 (\frac{1}{3})}}{5}$

Paso 5.3.3.7.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.7.2.1

Cancela el factor común.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 x^{3 (\frac{1}{3})}}{5}$

Paso 5.3.3.7.2.2

Reescribe la expresión.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.3.3.8

Simplifica.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (125 x^{3} + 9) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 9$ es la inversa de $f (x) = \frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 9$