Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ como una ecuación.

$y = \frac{2 x}{4 - 3 x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{2 y}{4 - 3 y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ .

$\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$4 - 3 y, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$4 - 3 y, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$4 - 3 y$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ por $4 - 3 y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ por $4 - 3 y$ .

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $4 - 3 y$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 y = x (4 - 3 y)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y = x \cdot 4 + x (- 3 y)$

Paso 3.3.3.2

Reordena.

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Paso 3.3.3.2.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$2 y = 4 \cdot x + x (- 3 y)$

Paso 3.3.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y = 4 x - 3 x y$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Suma $3 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y + 3 x y = 4 x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y$ de $2 y + 3 x y$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$y \cdot 2 + 3 x y = 4 x$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $y$ de $3 x y$ .

$y \cdot 2 + y (3 x) = 4 x$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 2 + y (3 x)$ .

$y (2 + 3 x) = 4 x$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $y (2 + 3 x) = 4 x$ por $2 + 3 x$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $y (2 + 3 x) = 4 x$ por $2 + 3 x$ .

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $2 + 3 x$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{4 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

Paso 5.2.3

Combina $4$ y $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $3 \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Combina $3$ y $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{3 (2 x)}{4 - 3 x}}$

Paso 5.2.4.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

Paso 5.2.4.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x)}{4 - 3 x} + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

Paso 5.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}}$

Paso 5.2.4.4

Reescribe $\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.4.1

Factoriza $2$ de $2 (4 - 3 x) + 6 x$ .

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Paso 5.2.4.4.1.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)}{4 - 3 x}}$

Paso 5.2.4.4.1.2

Factoriza $2$ de $2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x + 3 x)}{4 - 3 x}}$

Paso 5.2.4.4.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 + 0)}{4 - 3 x}}$

Paso 5.2.4.4.3

Suma $4$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 \cdot 4}{4 - 3 x}}$

Paso 5.2.4.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

Paso 5.2.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

Paso 5.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.2.7.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 (x)}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Paso 5.2.7.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Paso 5.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $4 - 3 x$ .

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Paso 5.2.8.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

Paso 5.2.8.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{4 x}{2 + 3 x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{2 (\frac{4 x}{2 + 3 x})}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.3

Combina $2$ y $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Multiplica $- 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Combina $- 3$ y $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 3 (4 x)}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.4.1.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 12 x}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.4.3

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.4.5

Reescribe $\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.5.1

Factoriza $4$ de $4 (2 + 3 x) - 12 x$ .

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Paso 5.3.4.5.1.1

Factoriza $4$ de $- 12 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.4.5.1.2

Factoriza $4$ de $4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x - 3 x)}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.4.5.2

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 0)}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.4.5.3

Suma $2$ y $0$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 \cdot 2}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.4.6

Multiplica $4$ por $2$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

Paso 5.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.3.7.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 (x)}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Paso 5.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Paso 5.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $2 + 3 x$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

Paso 5.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$