Precálculo Ejemplos

$y = - \frac{1}{3} (x + 1) (x - 5)$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{3} \cdot ((x + 1) (x - 5))$

Paso 1.1.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{3} \cdot ((x + 1) (x - 5))$

Paso 1.1.3

Simplifica $- \frac{1}{3} \cdot ((x + 1) (x - 5))$ .

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Paso 1.1.3.1

Expande $(x + 1) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x (x - 5) + 1 (x - 5))$

Paso 1.1.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 5 + 1 (x - 5))$

Paso 1.1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5)$

Paso 1.1.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5)$

Paso 1.1.3.2.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x^{2} - 5 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 5)$

Paso 1.1.3.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x^{2} - 5 x + x + 1 \cdot - 5)$

Paso 1.1.3.2.1.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x^{2} - 5 x + x - 5)$

Paso 1.1.3.2.2

Suma $- 5 x$ y $x$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x^{2} - 4 x - 5)$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} (- 4 x) - \frac{1}{3} \cdot - 5$

Paso 1.1.3.4

Simplifica.

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Paso 1.1.3.4.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} - \frac{1}{3} (- 4 x) - \frac{1}{3} \cdot - 5$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $- \frac{1}{3} (- 4 x)$ .

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Paso 1.1.3.4.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + 4 (\frac{1}{3}) x - \frac{1}{3} \cdot - 5$

Paso 1.1.3.4.2.2

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3} x - \frac{1}{3} \cdot - 5$

Paso 1.1.3.4.2.3

Combina $\frac{4}{3}$ y $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 5$

Paso 1.1.3.4.3

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot - 5$ .

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Paso 1.1.3.4.3.1

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} + 5 (\frac{1}{3})$

Paso 1.1.3.4.3.2

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = \frac{4}{3}$

$c = \frac{5}{3}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{4}{3}}{2 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{3}}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{- \frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{2}{3 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = \frac{2}{- 3 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2.5

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{2}{\frac{- 3}{3}}$

Paso 1.2.3.2.6

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 1.2.3.2.6.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$d = \frac{2}{\frac{3 \cdot - 1}{3}}$

Paso 1.2.3.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$d = \frac{2}{\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}$

Paso 1.2.3.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}$

Paso 1.2.3.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{\frac{- 1}{1}}$

Paso 1.2.3.2.6.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = \frac{2}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.7

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Paso 1.2.3.2.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{{(\frac{4}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{16}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{- 4}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{5}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{- \frac{4}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{5}{3} - (\frac{16}{9} (- \frac{3}{4}))$

Paso 1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$e = \frac{5}{3} - (\frac{16}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$e = \frac{5}{3} - (\frac{4 (4)}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$e = \frac{5}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$e = \frac{5}{3} - (\frac{4}{9} \cdot - 3)$

Paso 1.2.4.2.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.4.2.1.6.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$e = \frac{5}{3} - (\frac{4}{3 (3)} \cdot - 3)$

Paso 1.2.4.2.1.6.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$e = \frac{5}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Paso 1.2.4.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$e = \frac{5}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Paso 1.2.4.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$e = \frac{5}{3} - (\frac{4}{3} \cdot - 1)$

Paso 1.2.4.2.1.7

Combina $\frac{4}{3}$ y $- 1$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Paso 1.2.4.2.1.8

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = \frac{5}{3} - \frac{- 4}{3}$

Paso 1.2.4.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{5}{3} - - \frac{4}{3}$

Paso 1.2.4.2.1.10

Multiplica $- - \frac{4}{3}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{5}{3} + 1 (\frac{4}{3})$

Paso 1.2.4.2.1.10.2

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$e = \frac{5}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{5 + 4}{3}$

Paso 1.2.4.2.3

Suma $5$ y $4$ .

$e = \frac{9}{3}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $9$ por $3$ .

$e = 3$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{2} + 3$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{2} + 3$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = 2$

$k = 3$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, 3)$

Paso 4