Precálculo Ejemplos

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ como una ecuación.

$y = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica ${(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[7]{y}}{7}$ .

$x = \frac{{\sqrt[7]{y}}^{3}}{7^{3}}$

Paso 3.1.2

Reescribe ${\sqrt[7]{y}}^{3}$ como $\sqrt[7]{y^{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{7^{3}}$

Paso 3.1.3

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343}$

Paso 3.2

Reescribe la ecuación como $\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$ .

$\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$

Paso 3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{y^{3}}$ como $y^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = x$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $343$ .

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Paso 3.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común de $343$ .

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Paso 3.5.1.1

Cancela el factor común.

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Paso 3.5.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{3}{7}} = 343 x$

Paso 3.6

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{7}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Paso 3.7

Simplifica el exponente.

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Paso 3.7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

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Paso 3.7.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

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Paso 3.7.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Paso 3.7.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.7.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Paso 3.7.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Paso 3.7.1.1.1.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.7.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Paso 3.7.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Paso 3.7.1.1.2

Simplifica.

$y = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Paso 3.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.2.1

Simplifica ${(343 x)}^{\frac{7}{3}}$ .

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Paso 3.7.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $343 x$ .

$y = 343^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Paso 3.7.2.1.1.2

Reescribe $343$ como $7^{3}$ .

$y = {(7^{3})}^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Paso 3.7.2.1.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Paso 3.7.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.7.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Paso 3.7.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 7^{7} x^{\frac{7}{3}}$

Paso 3.7.2.1.3

Eleva $7$ a la potencia de $7$ .

$y = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$

Paso 5.2.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{7}$

Paso 5.2.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[7]{x}}{7}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{7^{7}})$

Paso 5.2.4

Reescribe ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ como $x$ .

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Paso 5.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{x}$ como $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{7^{7}})$

Paso 5.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{7^{7}})$

Paso 5.2.4.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Paso 5.2.4.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Paso 5.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Paso 5.2.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Paso 5.2.5

Eleva $7$ a la potencia de $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $823543$ .

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Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Paso 5.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (823543 x^{\frac{7}{3}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{823543 x^{\frac{7}{3}}}}{7})}^{3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Reescribe $823543 x^{\frac{7}{3}}$ como ${(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}}}{7})}^{3}$

Paso 5.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Paso 5.3.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.4.2.1

Divide $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 5.3.4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.3.4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Paso 5.3.4.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Paso 5.3.4.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$