Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{1 - x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$1 - x \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x \geq - 1$

Paso 2.2

Divide cada término en $- x \geq - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término de $- x \geq - 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x \leq 1$

Paso 3

Establece el radicando en $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$4 x - 2 x^{2} \geq 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Paso 4.2

Factoriza $2 x$ de $4 x - 2 x^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $2 x$ de $4 x$ .

$2 x (2) - 2 x^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{2}$ .

$2 x (2) + 2 x (- x) = 0$

Paso 4.2.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (2) + 2 x (- x)$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Paso 4.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.5

Establece $2 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 4.5.2

Resuelve $2 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 4.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 4.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 4.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 4.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (2 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 4.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Paso 4.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 4.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$4 (- 2) - 2 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Paso 4.8.1.3

$- 16$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.8.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 4.8.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$4 (1) - 2 {(1)}^{2} \geq 0$

Paso 4.8.2.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 4.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$4 (4) - 2 {(4)}^{2} \geq 0$

Paso 4.8.3.3

$- 16$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 4.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq 2$

Paso 5

Establece el denominador en $\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{4 x - 2 x^{2}} = 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ como ${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica ${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 x - 2 x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica.

$4 x - 2 x^{2} = 0^{2}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$4 u - 2 u^{2} = 0$

Paso 6.3.1.2

Factoriza $2 u$ de $4 u - 2 u^{2}$ .

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Paso 6.3.1.2.1

Factoriza $2 u$ de $4 u$ .

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

Paso 6.3.1.2.2

Factoriza $2 u$ de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

Paso 6.3.1.2.3

Factoriza $2 u$ de $2 u (2) + 2 u (- u)$ .

$2 u (2 - u) = 0$

Paso 6.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Paso 6.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Paso 6.3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.3.4

Establece $2 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.4.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 6.3.4.2

Resuelve $2 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 6.3.4.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.4.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.3.4.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.4.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 6.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (2 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 7

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, 1]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | 0 < x \leq 1}$

Paso 8