Precálculo Ejemplos

$- 12 - 4 - \frac{4}{3} - \dots - \frac{4}{243}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $\frac{1}{3}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = \frac{1}{3}$

Paso 2

Usa la fórmula de una progresión geométrica $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ para obtener el número de términos, $n$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores del primer término, el último término y la razón entre los términos en la fórmula.

$\frac{4}{243} = 12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Paso 2.2

Resuelve $n$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ .

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ por $12$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Divide cada término en $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ por $12$ .

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Paso 2.2.2.2.1.2

Divide ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ por $1$ .

${(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Paso 2.2.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Paso 2.2.2.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{12}$

Paso 2.2.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 (3)}$

Paso 2.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}$

Paso 2.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 2.2.2.3.3

Multiplica $\frac{1}{243}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243 \cdot 3}$

Paso 2.2.2.3.4

Multiplica $243$ por $3$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{729}$

Paso 2.2.3

Multiplica ambos lados por $3^{n - 1}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.4.1.1

Cancela el factor común de $3^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Paso 2.2.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.4.2.1

Combina $\frac{1}{729}$ y $3^{n - 1}$ .

$1 = \frac{3^{n - 1}}{729}$

Paso 2.2.5

Resuelve $n$

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Paso 2.2.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$ .

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$

Paso 2.2.5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $729$ .

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Paso 2.2.5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.2.5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.5.3.1.1

Cancela el factor común de $729$ .

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Paso 2.2.5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Paso 2.2.5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3^{n - 1} = 729 \cdot 1$

Paso 2.2.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.5.3.2.1

Multiplica $729$ por $1$ .

$3^{n - 1} = 729$

Paso 2.2.5.4

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{n - 1} = 3^{6}$

Paso 2.2.5.5

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$n - 1 = 6$

Paso 2.2.5.6

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.5.6.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$n = 6 + 1$

Paso 2.2.5.6.2

Suma $6$ y $1$ .

$n = 7$

Paso 3

Usa la fórmula de la suma de una progresión geométrica $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ para obtener la suma.

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Paso 3.1

Sustituye los valores del primer término, la razón y el número de términos en la fórmula de suma.

$S_{n} = \frac{- 12 ({(\frac{1}{3})}^{7} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1^{7}}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $7$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1 \cdot \frac{2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} + \frac{- 1 \cdot 2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 1 \cdot 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2187$ .

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.7.2

Resta $2187$ de $1$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{- 2186}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{n} = \frac{- 12 \cdot - 1 \frac{2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.9

Combina exponentes.

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Paso 3.2.1.9.1

Factoriza el negativo.

$S_{n} = \frac{- (- 12 (\frac{2186}{2187}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.9.2

Combina $- 12$ y $\frac{2186}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 12 \cdot 2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.9.3

Multiplica $- 12$ por $2186$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 26232}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.10

Cancela el factor común de $- 26232$ y $2187$ .

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Paso 3.2.1.10.1

Factoriza $3$ de $- 26232$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 (- 8744)}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1.10.2.1

Factoriza $3$ de $2187$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.10.2.2

Cancela el factor común.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.10.2.3

Reescribe la expresión.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{n} = \frac{- - 1 \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.12

Combina exponentes.

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Paso 3.2.1.12.1

Factoriza el negativo.

$S_{n} = \frac{- - \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.12.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$S_{n} = \frac{1 (\frac{8744}{729})}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.12.3

Multiplica $\frac{8744}{729}$ por $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.2.2.2

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Paso 3.2.2.4.2

Resta $3$ de $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{- 2}{3}}$

Paso 3.2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{- \frac{2}{3}}$

Paso 3.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$S_{n} = \frac{8744}{729} (- \frac{3}{2})$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$S_{n} = \frac{8744}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.4.2

Factoriza $2$ de $8744$ .

$S_{n} = \frac{2 (4372)}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.4.3

Cancela el factor común.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4372}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.4.4

Reescribe la expresión.

$S_{n} = \frac{4372}{729} \cdot - 3$

Paso 3.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.5.1

Factoriza $3$ de $729$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 (243)} \cdot - 3$

Paso 3.2.5.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Paso 3.2.5.3

Cancela el factor común.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Paso 3.2.5.4

Reescribe la expresión.

$S_{n} = \frac{4372}{243} \cdot - 1$

Paso 3.2.6

Combina $\frac{4372}{243}$ y $- 1$ .

$S_{n} = \frac{4372 \cdot - 1}{243}$

Paso 3.2.7

Multiplica $4372$ por $- 1$ .

$S_{n} = \frac{- 4372}{243}$

Paso 3.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{n} = - \frac{4372}{243}$