Precálculo Ejemplos

$f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ como una ecuación.

$y = 5 {(x - 5)}^{7}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 5 {(y - 5)}^{7}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $5 {(y - 5)}^{7} = x$ .

$5 {(y - 5)}^{7} = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $5 {(y - 5)}^{7} = x$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $5 {(y - 5)}^{7} = x$ por $5$ .

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide ${(y - 5)}^{7}$ por $1$ .

${(y - 5)}^{7} = \frac{x}{5}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y - 5 = \sqrt[7]{\frac{x}{5}}$

Paso 3.4

Reescribe $\sqrt[7]{\frac{x}{5}}$ como $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ .

$y - 5 = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$

Paso 3.5

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ es la inversa de $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \frac{\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Combina $\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}$ y $\sqrt[7]{5}$ en un solo radical.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

Paso 5.2.3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Reduce la expresión $\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

Paso 5.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{{(x - 5)}^{7}}{1}} + 5$

Paso 5.2.3.2.2

Divide ${(x - 5)}^{7}$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 5)}^{7}} + 5$

Paso 5.2.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x - 5 + 5$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 5 + 5$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {((\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5)}^{7}$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $5$ de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 0)}^{7}$

Paso 5.3.3.2

Suma $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}})}^{7}$

Paso 5.3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Paso 5.3.5

Reescribe ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ como $x$ .

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Paso 5.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{x}$ como $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Paso 5.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Paso 5.3.5.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Paso 5.3.5.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Paso 5.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Paso 5.3.5.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Paso 5.3.6

Reescribe ${\sqrt[7]{5}}^{7}$ como $5$ .

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Paso 5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{5}$ como $5^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{(5^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

Paso 5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

Paso 5.3.6.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

Paso 5.3.6.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

Paso 5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ es la inversa de $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$