Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ como una ecuación.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = 4 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = 4 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt[3]{y - 6} = 4 x$

Paso 3.4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{y - 6}}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Paso 3.5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y - 6}$ como ${(y - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y - 6)}^{1} = {(4 x)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica.

$y - 6 = {(4 x)}^{3}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica ${(4 x)}^{3}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$y - 6 = 4^{3} x^{3}$

Paso 3.5.3.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$y - 6 = 64 x^{3}$

Paso 3.6

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 64 x^{3} + 6$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4})}^{3} + 6$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x - 6}}^{3}}{4^{3}}) + 6$

Paso 5.2.3.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ como $x - 6$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x - 6}$ como ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}}) + 6$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}}) + 6$

Paso 5.2.3.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{3}}}{4^{3}}) + 6$

Paso 5.2.3.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{3}}}{4^{3}}) + 6$

Paso 5.2.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{4^{3}}) + 6$

Paso 5.2.3.2.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{4^{3}}) + 6$

Paso 5.2.3.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{64}) + 6$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{64}) + 6$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x - 6 + 6$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 6 + 6$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 6$ y $6$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (64 x^{3} + 6)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{(64 x^{3} + 6) - 6}}{4}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Resta $6$ de $6$ .

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{64 x^{3} + 0}}{4}$

Paso 5.3.3.2

Suma $64 x^{3}$ y $0$ .

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{64 x^{3}}}{4}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $64 x^{3}$ como ${(4 x)}^{3}$ .

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{{(4 x)}^{3}}}{4}$

Paso 5.3.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (64 x^{3} + 6) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$