Precálculo Ejemplos

$f (x) = 5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ como una ecuación.

$y = 5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 5 (y^{\frac{1}{3}} - 6)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $5 (y^{\frac{1}{3}} - 6) = x$ .

$5 (y^{\frac{1}{3}} - 6) = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $5 (y^{\frac{1}{3}} - 6) = x$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $5 (y^{\frac{1}{3}} - 6) = x$ por $5$ .

$\frac{5 (y^{\frac{1}{3}} - 6)}{5} = \frac{x}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 (y^{\frac{1}{3}} - 6)}{5} = \frac{x}{5}$

Paso 3.2.2.2

Divide $y^{\frac{1}{3}} - 6$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} - 6 = \frac{x}{5}$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{5} = 6$

Paso 3.3.2

Suma $\frac{x}{5}$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{\frac{1}{3}} = 6 + \frac{x}{5}$

Paso 3.4

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(6 + \frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5

Simplifica el exponente.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(6 + \frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(6 + \frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(6 + \frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.1.1.2

Simplifica.

$y = {(6 + \frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${(6 + \frac{x}{5})}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y = 6^{3} + 3 \cdot 6^{2} \frac{x}{5} + 3 \cdot 6 {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$y = 216 + 3 \cdot 6^{2} \frac{x}{5} + 3 \cdot 6 {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = 216 + 3 \cdot 36 \frac{x}{5} + 3 \cdot 6 {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.3

Multiplica $3$ por $36$ .

$y = 216 + 108 \frac{x}{5} + 3 \cdot 6 {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.4

Combina $108$ y $\frac{x}{5}$ .

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + 3 \cdot 6 {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.5

Multiplica $3$ por $6$ .

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + 18 {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.6

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{5}$ .

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + 18 \frac{x^{2}}{5^{2}} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.7

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + 18 \frac{x^{2}}{25} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.8

Combina $18$ y $\frac{x^{2}}{25}$ .

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + \frac{18 x^{2}}{25} + {(\frac{x}{5})}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2.9

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{5}$ .

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{x^{3}}{5^{3}}$

Paso 3.5.2.1.2.10

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$y = 216 + \frac{108 x}{5} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{x^{3}}{125}$

Paso 3.6

Simplifica $216 + \frac{108 x}{5} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{x^{3}}{125}$ .

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Paso 3.6.1

Mueve $216$ .

$y = \frac{108 x}{5} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{x^{3}}{125} + 216$

Paso 3.6.2

Mueve $\frac{108 x}{5}$ .

$y = \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{x^{3}}{125} + \frac{108 x}{5} + 216$

Paso 3.6.3

Reordena $\frac{18 x^{2}}{25}$ y $\frac{x^{3}}{125}$ .

$y = \frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216$ es la inversa de $f (x) = 5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = \frac{{(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{3}}{125} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = \frac{5^{3} {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{125} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = \frac{125 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{125} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = \frac{125 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}}{125} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.3

Divide ${(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3}$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.4

Usa el teorema del binomio.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 6 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.2.3.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 6 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.5.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.5.1.2.1

Cancela el factor común.

Paso 5.2.3.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 6 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.5.2

Simplifica.

Paso 5.2.3.5.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.3.5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 6 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.5.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 6 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.5.4

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.5.5

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 36 + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.5.6

Multiplica $36$ por $3$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} + {(- 6)}^{3} + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.5.7

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{18 {(5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.6.1

Aplica la regla del producto a $5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{18 \cdot (5^{2} {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2})}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.6.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{18 \cdot (25 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2})}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.6.3

Multiplica $18$ por $25$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{450 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.7

Factoriza $25$ de $450 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{25 (18 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2})}{25} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.8

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.8.1

Factoriza $25$ de $25$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{25 (18 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2})}{25 (1)} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.8.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{25 (18 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2})}{25 \cdot 1} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.8.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + \frac{18 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}}{1} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.8.4

Divide $18 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 {(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2} + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.9

Reescribe ${(x^{\frac{1}{3}} - 6)}^{2}$ como $(x^{\frac{1}{3}} - 6) (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 ((x^{\frac{1}{3}} - 6) (x^{\frac{1}{3}} - 6)) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.10

Expande $(x^{\frac{1}{3}} - 6) (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 6) - 6 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 6 - 6 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 6 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot - 6) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.11.1.1

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.11.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 6 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot - 6) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.11.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 6 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot - 6) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.11.1.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 6 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot - 6) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.11.1.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{2}{3}} - 6 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot - 6) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.11.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 36) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.11.2

Resta $6 x^{\frac{1}{3}}$ de $- 6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 (x^{\frac{2}{3}} - 12 x^{\frac{1}{3}} + 36) + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.12

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} + 18 (- 12 x^{\frac{1}{3}}) + 18 \cdot 36 + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.13

Simplifica.

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Paso 5.2.3.13.1

Multiplica $- 12$ por $18$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 18 \cdot 36 + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.13.2

Multiplica $18$ por $36$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.14

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + \frac{108 (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6))}{5} + 216$

Paso 5.2.3.15

Divide $108 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + 108 (x^{\frac{1}{3}} - 6) + 216$

Paso 5.2.3.16

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + 108 x^{\frac{1}{3}} + 108 \cdot - 6 + 216$

Paso 5.2.3.17

Multiplica $108$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + 108 x^{\frac{1}{3}} - 648 + 216$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x - 18 x^{\frac{2}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 18 x^{\frac{2}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + 108 x^{\frac{1}{3}} - 648 + 216$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Suma $- 18 x^{\frac{2}{3}}$ y $18 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 + 0 - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + 108 x^{\frac{1}{3}} - 648 + 216$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 - 216 x^{\frac{1}{3}} + 648 + 108 x^{\frac{1}{3}} - 648 + 216$

Paso 5.2.4.1.3

Resta $648$ de $648$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 - 216 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 216$

Paso 5.2.4.1.4

Suma $x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 - 216 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}}$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 - 216 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} + 216$

Paso 5.2.4.1.5

Suma $- 216$ y $216$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Paso 5.2.4.1.6

Suma $x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}}$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 108 x^{\frac{1}{3}} - 216 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.2.4.2

Resta $216 x^{\frac{1}{3}}$ de $108 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x - 108 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 108 x^{\frac{1}{3}} + 108 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 108 x^{\frac{1}{3}}$ y $108 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216) = 5 ({(\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216)}^{\frac{1}{3}} - 6)$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216) = 5 {(\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216)}^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot - 6$

Paso 5.3.4

Multiplica $5$ por $- 6$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216) = 5 {(\frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216)}^{\frac{1}{3}} - 30$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216$ es la inversa de $f (x) = 5 (x^{\frac{1}{3}} - 6)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{125} + \frac{18 x^{2}}{25} + \frac{108 x}{5} + 216$