Precálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{5} - 1$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 6 x^{5} - 1$ como una ecuación.

$y = 6 x^{5} - 1$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 6 y^{5} - 1$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $6 y^{5} - 1 = x$ .

$6 y^{5} - 1 = x$

Paso 3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$6 y^{5} = x + 1$

Paso 3.3

Divide cada término en $6 y^{5} = x + 1$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $6 y^{5} = x + 1$ por $6$ .

$\frac{6 y^{5}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y^{5}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y^{5}$ por $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{6} + \frac{1}{6}}$

Paso 3.5

Simplifica $\sqrt[5]{\frac{x}{6} + \frac{1}{6}}$ .

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Paso 3.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[5]{\frac{x + 1}{6}}$

Paso 3.5.2

Reescribe $\sqrt[5]{\frac{x + 1}{6}}$ como $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$

Paso 3.5.3

Multiplica $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$

Paso 3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{\sqrt[5]{6} {\sqrt[5]{6}}^{4}}$

Paso 3.5.4.2

Eleva $\sqrt[5]{6}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}$

Paso 3.5.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{1 + 4}}$

Paso 3.5.4.4

Suma $1$ y $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{5}}$

Paso 3.5.4.5

Reescribe ${\sqrt[5]{6}}^{5}$ como $6$ .

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Paso 3.5.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{6}$ como $6^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{(6^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Paso 3.5.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Paso 3.5.4.5.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{5}{5}}}$

Paso 3.5.4.5.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.5.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{5}{5}}}$

Paso 3.5.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{1}}$

Paso 3.5.4.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6}$

Paso 3.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.5.1

Reescribe ${\sqrt[5]{6}}^{4}$ como $\sqrt[5]{6^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} \sqrt[5]{6^{4}}}{6}$

Paso 3.5.5.2

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} \sqrt[5]{1296}}{6}$

Paso 3.5.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[5]{(x + 1) \cdot 1296}}{6}$

Paso 3.5.6.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[5]{(x + 1) \cdot 1296}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ es la inversa de $f (x) = 6 x^{5} - 1$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (6 x^{5} - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 ((6 x^{5} - 1) + 1)}}{6}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 (6 x^{5} + 0)}}{6}$

Paso 5.2.3.2

Suma $6 x^{5}$ y $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 \cdot (6 x^{5})}}{6}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $1296$ por $6$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{7776 x^{5}}}{6}$

Paso 5.2.3.4

Reescribe $7776 x^{5}$ como ${(6 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{{(6 x)}^{5}}}{6}$

Paso 5.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{6 x}{6}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{6 x}{6}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6})}^{5} - 1$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}^{5}}{6^{5}}) - 1$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.2.1

Reescribe ${\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}^{5}$ como $1296 (x + 1)$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{1296 (x + 1)}$ como ${(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{({(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{6^{5}}) - 1$

Paso 5.3.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{6^{5}}) - 1$

Paso 5.3.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{5}{5}}}{6^{5}}) - 1$

Paso 5.3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{5}{5}}}{6^{5}}) - 1$

Paso 5.3.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

Paso 5.3.3.2.1.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 x + 1296 \cdot 1}{6^{5}}) - 1$

Paso 5.3.3.2.3

Multiplica $1296$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 x + 1296}{6^{5}}) - 1$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $1296$ de $1296 x + 1296$ .

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Paso 5.3.3.2.4.1

Factoriza $1296$ de $1296 x$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x) + 1296}{6^{5}}) - 1$

Paso 5.3.3.2.4.2

Factoriza $1296$ de $1296$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x) + 1296 (1)}{6^{5}}) - 1$

Paso 5.3.3.2.4.3

Factoriza $1296$ de $1296 (x) + 1296 (1)$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

Paso 5.3.3.3

Eleva $6$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{7776}) - 1$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Factoriza $6$ de $7776$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6 (1296)}) - 1$

Paso 5.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6 \cdot 1296}) - 1$

Paso 5.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = \frac{1296 (x + 1)}{1296} - 1$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $1296$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = \frac{1296 (x + 1)}{1296} - 1$

Paso 5.3.3.5.2

Divide $x + 1$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x + 1 - 1$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ es la inversa de $f (x) = 6 x^{5} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$