Precálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{4}{5} x^{2} + \frac{48}{5} x - \frac{114}{5}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 4}{5} + \frac{48}{5} x - \frac{114}{5}$

Paso 1.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = - \frac{4 \cdot x^{2}}{5} + \frac{48}{5} x - \frac{114}{5}$

Paso 1.1.3

Combina $\frac{48}{5}$ y $x$ .

$y = - \frac{4 x^{2}}{5} + \frac{48 x}{5} - \frac{114}{5}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{4 x^{2}}{5} + \frac{48 x}{5} - \frac{114}{5}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{4}{5}$

$b = \frac{48}{5}$

$c = - \frac{114}{5}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{48}{5}}{2 (- \frac{4}{5})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{48}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{4}{5})}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $48$ .

$d = \frac{2 (24)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{4}{5})}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 24}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{4}{5})}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{4}{5}}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $\frac{24}{5}$ por $\frac{1}{- \frac{4}{5}}$ .

$d = \frac{24}{5 (- \frac{4}{5})}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$d = \frac{24}{- 5 (\frac{4}{5})}$

Paso 1.2.3.2.5

Combina $- 5$ y $\frac{4}{5}$ .

$d = \frac{24}{\frac{- 5 \cdot 4}{5}}$

Paso 1.2.3.2.6

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$d = \frac{24}{\frac{- 20}{5}}$

Paso 1.2.3.2.7

Cancela el factor común de $- 20$ y $5$ .

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Paso 1.2.3.2.7.1

Factoriza $5$ de $- 20$ .

$d = \frac{24}{\frac{5 \cdot - 4}{5}}$

Paso 1.2.3.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.7.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$d = \frac{24}{\frac{5 \cdot - 4}{5 (1)}}$

Paso 1.2.3.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{24}{\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 1}}$

Paso 1.2.3.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{24}{\frac{- 4}{1}}$

Paso 1.2.3.2.7.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = \frac{24}{- 4}$

Paso 1.2.3.2.8

Cancela el factor común de $24$ y $- 4$ .

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Paso 1.2.3.2.8.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$d = \frac{4 (6)}{- 4}$

Paso 1.2.3.2.8.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 6$

Paso 1.2.3.2.9

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$d = - 6$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{{(\frac{48}{5})}^{2}}{4 (- \frac{4}{5})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{48}{5}$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{48^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{4}{5})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $48$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{5^{2}}}{4 (- \frac{4}{5})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{4 (- \frac{4}{5})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{- 4 (\frac{4}{5})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{4}{5}$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{\frac{- 4 \cdot 4}{5}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{\frac{- 16}{5}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{- \frac{16}{5}}$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{2304}{25} (- \frac{5}{16}))$

Paso 1.2.4.2.1.6

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 1.2.4.2.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{16}$ al numerador.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{2304}{25} \cdot \frac{- 5}{16})$

Paso 1.2.4.2.1.6.2

Factoriza $16$ de $2304$ .

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{16 (144)}{25} \cdot \frac{- 5}{16})$

Paso 1.2.4.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{16 \cdot 144}{25} \cdot \frac{- 5}{16})$

Paso 1.2.4.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{25} \cdot - 5)$

Paso 1.2.4.2.1.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.4.2.1.7.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5 (5)} \cdot - 5)$

Paso 1.2.4.2.1.7.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Paso 1.2.4.2.1.7.3

Cancela el factor común.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Paso 1.2.4.2.1.7.4

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5} \cdot - 1)$

Paso 1.2.4.2.1.8

Combina $\frac{144}{5}$ y $- 1$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{144 \cdot - 1}{5}$

Paso 1.2.4.2.1.9

Multiplica $144$ por $- 1$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{- 144}{5}$

Paso 1.2.4.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{114}{5} - - \frac{144}{5}$

Paso 1.2.4.2.1.11

Multiplica $- - \frac{144}{5}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{114}{5} + 1 (\frac{144}{5})$

Paso 1.2.4.2.1.11.2

Multiplica $\frac{144}{5}$ por $1$ .

$e = - \frac{114}{5} + \frac{144}{5}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 114 + 144}{5}$

Paso 1.2.4.2.3

Suma $- 114$ y $144$ .

$e = \frac{30}{5}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $30$ por $5$ .

$e = 6$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{4}{5} {(x - 6)}^{2} + 6$ .

$- \frac{4}{5} {(x - 6)}^{2} + 6$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{4}{5} \cdot {(x - 6)}^{2} + 6$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{4}{5}$

$h = 6$

$k = 6$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(6, 6)$

Paso 4