Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ no está definida.

$x = - 1, x = 0$

Paso 2

Como $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 1$ desde la izquierda y $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 1$ desde la derecha, entonces $x = - 1$ es una asíntota vertical.

$x = - 1$

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 x) + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2}{x^{2} + x}$

Paso 6.1.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x^{2} + x}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x}$

Paso 6.1.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x^{1}}$

Paso 6.1.2.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Paso 6.1.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x (x + 1)}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 6.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (3 x + 2)$ .

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

Paso 6.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

Paso 6.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (3 x + 2)}{x + 1}$

Paso 6.2

Expande $x (3 x + 2)$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Paso 6.2.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Paso 6.2.3

Reordena $x$ y $3$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Paso 6.2.4

Reordena $x$ y $2$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot x}{x + 1}$

Paso 6.2.5

Multiplica $3$ por $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 2 x}{x + 1}$

Paso 6.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

Paso 6.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

Paso 6.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 2 x}{x + 1}$

Paso 6.2.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x + 1}$

Paso 6.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{2}$

$2 x$

$0$

Paso 6.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Paso 6.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 6.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{2} + 3 x$ .

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 6.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$

Paso 6.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

Paso 6.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

Paso 6.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Paso 6.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x - 1$ .

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Paso 6.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Paso 6.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$3 x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

Paso 6.14

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$3 x - 1 + \frac{x}{x^{2} + x}$

Paso 6.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 3 x - 1$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 3 x - 1$

Paso 8