Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (5^{x + 1} - 20) = x$

Paso 1

Establece el argumento en $\log_{5} (5^{x + 1} - 20)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$5^{x + 1} - 20 > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Suma $20$ a ambos lados de la desigualdad.

$5^{x + 1} > 20$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{x + 1}) > \ln (20)$

Paso 2.3

Expande $\ln (5^{x + 1})$ ; para ello, mueve $x + 1$ fuera del logaritmo.

$(x + 1) \ln (5) > \ln (20)$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Simplifica $(x + 1) \ln (5)$ .

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Paso 2.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (5) + 1 \ln (5) > \ln (20)$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $\ln (5)$ por $1$ .

$x \ln (5) + \ln (5) > \ln (20)$

Paso 2.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (5) + \ln (5) - \ln (20) = 0$

Paso 2.6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5}{20}) = 0$

Paso 2.7

Cancela el factor común de $5$ y $20$ .

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Paso 2.7.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 (1)}{20}) = 0$

Paso 2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.2.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

Paso 2.7.2.2

Cancela el factor común.

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

Paso 2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$x \ln (5) + \ln (\frac{1}{4}) = 0$

Paso 2.8

Resta $\ln (\frac{1}{4})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$

Paso 2.9

Divide cada término en $x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ por $\ln (5)$ y simplifica.

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Paso 2.9.1

Divide cada término en $x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ por $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Paso 2.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.9.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 2.9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Paso 2.9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Paso 2.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Paso 2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}}$

Paso 4