Precálculo Ejemplos

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$a^{2} - a + a b - b = 0$

Paso 2

Resuelve $a$

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Paso 2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1 + b$ y $c = - b$ en la fórmula cuadrática y resuelve $a$ .

$\frac{- (- 1 + b) \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- b))}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.3

Reescribe ${(- 1 + b)}^{2}$ como $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.4

Expande $(- 1 + b) (- 1 + b)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.5.1.2

Reescribe $- 1 b$ como $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.5.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.5.1.4

Reescribe $- 1 b$ como $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.5.1.5

Multiplica $b$ por $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.5.2

Resta $b$ de $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.1.6.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.6.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.7

Suma $- 2 b$ y $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.8

Reordena los términos.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.9

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.3.1.9.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.9.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Paso 2.3.1.9.3

Reescribe el polinomio.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.9.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = b$ y $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.3

Reescribe ${(- 1 + b)}^{2}$ como $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.4

Expande $(- 1 + b) (- 1 + b)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.5.1.2

Reescribe $- 1 b$ como $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.5.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.5.1.4

Reescribe $- 1 b$ como $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.5.1.5

Multiplica $b$ por $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.5.2

Resta $b$ de $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.6

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.4.1.6.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.6.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.7

Suma $- 2 b$ y $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.8

Reordena los términos.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.9

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.4.1.9.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.9.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Paso 2.4.1.9.3

Reescribe el polinomio.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.9.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = b$ y $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Paso 2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$a = \frac{1 - b + b + 1}{2}$

Paso 2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.4.1

Suma $1$ y $1$ .

$a = \frac{- b + b + 2}{2}$

Paso 2.4.4.2

Suma $- b$ y $b$ .

$a = \frac{0 + 2}{2}$

Paso 2.4.4.3

Suma $0$ y $2$ .

$a = \frac{2}{2}$

Paso 2.4.5

Divide $2$ por $2$ .

$a = 1$

Paso 2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.3

Reescribe ${(- 1 + b)}^{2}$ como $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.4

Expande $(- 1 + b) (- 1 + b)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.5.1.2

Reescribe $- 1 b$ como $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.5.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.5.1.4

Reescribe $- 1 b$ como $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.5.1.5

Multiplica $b$ por $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.5.2

Resta $b$ de $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.6

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.5.1.6.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.6.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.7

Suma $- 2 b$ y $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.8

Reordena los términos.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.9

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.5.1.9.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.9.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Paso 2.5.1.9.3

Reescribe el polinomio.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.9.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = b$ y $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Paso 2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$a = \frac{1 - b - (b + 1)}{2}$

Paso 2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a = \frac{1 - b - b - 1 \cdot 1}{2}$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b - b - 1}{2}$

Paso 2.5.4.3

Resta $1$ de $1$ .

$a = \frac{- b - b + 0}{2}$

Paso 2.5.4.4

Suma $- b - b$ y $0$ .

$a = \frac{- b - b}{2}$

Paso 2.5.4.5

Resta $b$ de $- b$ .

$a = \frac{- 2 b}{2}$

Paso 2.5.5

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.5.5.1

Factoriza $2$ de $- 2 b$ .

$a = \frac{2 (- b)}{2}$

Paso 2.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$a = \frac{2 (- b)}{2 (1)}$

Paso 2.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$a = \frac{2 (- b)}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$a = \frac{- b}{1}$

Paso 2.5.5.2.4

Divide $- b$ por $1$ .

$a = - b$

Paso 2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$a = 1$

$a = - b$

$a = 1$

$a = - b$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $a$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${a | a \neq 1}$