Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[4]{x + 6}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt[4]{x + 6}$ como una ecuación.

$y = \sqrt[4]{x + 6}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[4]{y + 6}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[4]{y + 6} = x$ .

$\sqrt[4]{y + 6} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[4]{y + 6}}^{4} = x^{4}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{y + 6}$ como ${(y + 6)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(y + 6)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(y + 6)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 6)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 6)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 6)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 6)}^{1} = x^{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$y + 6 = x^{4}$

Paso 3.4

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{4} - 6$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 6$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{4} - 6$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[4]{x + 6}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {(\sqrt[4]{x + 6})}^{4} - 6$

Paso 5.2.3

Reescribe ${\sqrt[4]{x + 6}}^{4}$ como $x + 6$ .

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Paso 5.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x + 6}$ como ${(x + 6)}^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {({(x + 6)}^{\frac{1}{4}})}^{4} - 6$

Paso 5.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {(x + 6)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} - 6$

Paso 5.2.3.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {(x + 6)}^{\frac{4}{4}} - 6$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {(x + 6)}^{\frac{4}{4}} - 6$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = (x + 6) - 6$

Paso 5.2.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = x + 6 - 6$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 6 - 6$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{4} - 6)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{4} - 6) = \sqrt[4]{(x^{4} - 6) + 6}$

Paso 5.3.3

Suma $- 6$ y $6$ .

$f (x^{4} - 6) = \sqrt[4]{x^{4} + 0}$

Paso 5.3.4

Suma $x^{4}$ y $0$ .

$f (x^{4} - 6) = \sqrt[4]{x^{4}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{4} - 6) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{4} - 6$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[4]{x + 6}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 6$