Precálculo Ejemplos

$g (s) = \sqrt{\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5} \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$3 x + 4 = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Paso 2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 4$

Paso 2.3

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{3}$

Paso 2.4

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 5$

Paso 2.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{5}$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{5}$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{5}$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 2.7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - \frac{4}{3}$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 2.8

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{4}{3}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 2.9

Obtén el dominio de $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ .

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Paso 2.9.1

Establece el denominador en $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 5 = 0$

Paso 2.9.2

Resuelve $x$

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Paso 2.9.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 5$

Paso 2.9.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{5}$

Paso 2.9.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.9.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{5}$

Paso 2.9.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{5}$

Paso 2.9.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 2.9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Paso 2.10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \sqrt{5}$

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$

$x > \sqrt{5}$

Paso 2.11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \sqrt{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \sqrt{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5$

Paso 2.11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (- 5) + 4}{{(- 5)}^{2} - 5} \geq 0$

Paso 2.11.1.3

$- 0.55$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.11.2

Prueba un valor en el intervalo $- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 2.11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (- 2) + 4}{{(- 2)}^{2} - 5} \geq 0$

Paso 2.11.2.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.11.3

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (0) + 4}{{(0)}^{2} - 5} \geq 0$

Paso 2.11.3.3

$- 0.8$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \sqrt{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \sqrt{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 2.11.4.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (5) + 4}{{(5)}^{2} - 5} \geq 0$

Paso 2.11.4.3

$0.95$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \sqrt{5}$ Falso

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ Verdadero

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ Falso

$x > \sqrt{5}$ Verdadero

$x < - \sqrt{5}$ Falso

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ Verdadero

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ Falso

$x > \sqrt{5}$ Verdadero

Paso 2.12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \sqrt{5} < x \leq - \frac{4}{3}$ o $x > \sqrt{5}$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 5 = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 5$

Paso 4.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{5}$

Paso 4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{5}$

Paso 4.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{5}$

Paso 4.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}] \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \sqrt{5} < x \leq - \frac{4}{3}, x > \sqrt{5}}$

Paso 6