Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ no está definida.

$x = - 1, x = 3$

Paso 2

Como $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 1$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 1$ desde la derecha, entonces $x = - 1$ es una asíntota vertical.

$x = - 1$

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 5 x^{2} + 6 x$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Paso 6.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Paso 6.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Paso 6.1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 5 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Paso 6.1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x^{2} - 5 x + 6)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 6.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 6.1.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x ((x - 3) (x - 2))}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Paso 6.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2} + 6 x + 9$ .

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Paso 6.1.2.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 6 x + 9}$

Paso 6.1.2.1.2

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 9}$

Paso 6.1.2.1.3

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (3)}$

Paso 6.1.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)}$

Paso 6.1.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x + 3)}$

Paso 6.1.2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1.2.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 6.1.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 (x) + 3)}$

Paso 6.1.2.2.1.2

Reescribe $2$ como $- 1$ más $3$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3)}$

Paso 6.1.2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3)}$

Paso 6.1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.1.2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3)}$

Paso 6.1.2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (x (- x - 1) - 3 (- x - 1))}$

Paso 6.1.2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x - 1) (x - 3))}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.3.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 6.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

Paso 6.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- x - 1)}$

Paso 6.1.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1)}$

Paso 6.1.3.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1 (1))}$

Paso 6.1.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x + 1))}$

Paso 6.1.3.5

Reescribe los negativos.

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Paso 6.1.3.5.1

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- 1 (x + 1))}$

Paso 6.1.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Paso 6.2

Expande $- x (x - 2)$ .

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Paso 6.2.1

Haz que $x$ sea negativo.

$\frac{- x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Paso 6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 2}{3 (x + 1)}$

Paso 6.2.3

Mueve $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Paso 6.2.4

Factoriza el negativo.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Paso 6.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Paso 6.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Paso 6.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Paso 6.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Paso 6.2.9

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Paso 6.3

Expande $3 (x + 1)$ .

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Paso 6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Paso 6.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Paso 6.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				-	$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Paso 6.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 6.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} - x$ .

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 6.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$

Paso 6.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

Paso 6.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

Paso 6.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$3$

Paso 6.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x + 3$ .

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$

Paso 6.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

Paso 6.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- \frac{x}{3} + 1 - \frac{3}{3 x + 3}$

Paso 6.15

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$- \frac{x}{3} + 1 + \frac{3 x - 9}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Paso 6.16

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - \frac{x}{3} + 1$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - \frac{x}{3} + 1$

Paso 8