Precálculo Ejemplos

$\sqrt{\sqrt{x + 1} + 1}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{x + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 1 \geq 0$

Paso 2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 1$

Paso 3

Establece el radicando en $\sqrt{\sqrt{x + 1} + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sqrt{x + 1} + 1 \geq 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\sqrt{x + 1} \geq - 1$

Paso 4.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x + 1}}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 1)}^{1} \geq {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica.

$x + 1 \geq {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x + 1 \geq 1$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 1 - 1$

Paso 4.4.2

Resta $1$ de $1$ .

$x \geq 0$

Paso 4.5

Obtén el dominio de $\sqrt{x + 1} + 1$ .

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Paso 4.5.1

Establece el radicando en $\sqrt{x + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 1 \geq 0$

Paso 4.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 1$

Paso 4.5.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 1, \infty)$

Paso 4.6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Paso 4.7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 4.7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(- 4) + 1} + 1 \geq 0$

Paso 4.7.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.7.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.5$

Paso 4.7.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.5$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(- 0.5) + 1} + 1 \geq 0$

Paso 4.7.2.3

$1.70710678$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 4.7.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\sqrt{(2) + 1} + 1 \geq 0$

Paso 4.7.3.3

$2.7320508$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Verdadero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Verdadero

Paso 4.8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 \leq x \leq 0$ o $x \geq 0$

Paso 4.9

Combina los intervalos.

$x \geq - 1$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq - 1}$

Paso 6