Precálculo Ejemplos

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x + 10)}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x + 10)}$ no está definida.

$x = - 10$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Factoriza $x^{2} + 15 x + 54$ con el método AC.

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Paso 5.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $54$ y cuya suma es $15$ .

$6, 9$

Paso 5.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 x + 30}$

Paso 5.1.2

Factoriza $3$ de $3 x + 30$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x) + 30}$

Paso 5.1.2.2

Factoriza $3$ de $30$ .

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 x + 3 \cdot 10}$

Paso 5.1.2.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot 10$ .

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x + 10)}$

Paso 5.2

Expande $(x + 6) (x + 9)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 9) + 6 (x + 9)}{3 (x + 10)}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 9 + 6 (x + 9)}{3 (x + 10)}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 9 + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Paso 5.2.4

Reordena $x$ y $9$ .

$\frac{x \cdot x + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Paso 5.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Paso 5.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Paso 5.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Paso 5.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Paso 5.2.9

Multiplica $6$ por $9$ .

$\frac{x^{2} + 9 x + 6 x + 54}{3 (x + 10)}$

Paso 5.2.10

Suma $9 x$ y $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 15 x + 54}{3 (x + 10)}$

Paso 5.3

Expande $3 (x + 10)$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 15 x + 54}{3 x + 3 \cdot 10}$

Paso 5.3.2

Multiplica $3$ por $10$ .

$\frac{x^{2} + 15 x + 54}{3 x + 30}$

Paso 5.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$30$

$x^{2}$

$15 x$

$54$

Paso 5.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$

Paso 5.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			+	$x^{2}$	+	$10 x$

Paso 5.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 10 x$ .

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$

Paso 5.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$

Paso 5.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$

Paso 5.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$

Paso 5.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$
					+	$5 x$	+	$50$

Paso 5.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x + 50$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$
					-	$5 x$	-	$50$

Paso 5.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$
					-	$5 x$	-	$50$
							+	$4$

Paso 5.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{x}{3} + \frac{5}{3} + \frac{4}{3 x + 30}$

Paso 5.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 10$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 7