Precálculo Ejemplos

$f (x) = {(x - 8)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(x - 8)}^{7}$ como una ecuación.

$y = {(x - 8)}^{7}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(y - 8)}^{7}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(y - 8)}^{7} = x$ .

${(y - 8)}^{7} = x$

Paso 3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y - 8 = \sqrt[7]{x}$

Paso 3.3

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \sqrt[7]{x} + 8$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$ es la inversa de $f (x) = {(x - 8)}^{7}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(x - 8)}^{7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 8)}^{7}} + 8$

Paso 5.2.3

Elimina los paréntesis.

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 8)}^{7}} + 8$

Paso 5.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = x - 8 + 8$

Paso 5.2.5

Combina los términos opuestos en $x - 8 + 8$ .

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Paso 5.2.5.1

Suma $- 8$ y $8$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = x + 0$

Paso 5.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[7]{x} + 8)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {((\sqrt[7]{x} + 8) - 8)}^{7}$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $(\sqrt[7]{x} + 8) - 8$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $8$ de $8$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {(\sqrt[7]{x} + 0)}^{7}$

Paso 5.3.3.2

Suma $\sqrt[7]{x}$ y $0$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {\sqrt[7]{x}}^{7}$

Paso 5.3.4

Reescribe ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ como $x$ .

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Paso 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{x}$ como $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Paso 5.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Paso 5.3.4.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $7$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x^{\frac{7}{7}}$

Paso 5.3.4.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x^{\frac{7}{7}}$

Paso 5.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x$

Paso 5.3.4.5

Simplifica.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$ es la inversa de $f (x) = {(x - 8)}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$