Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = 4 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = 4 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{2}} = 4 x$

Paso 3.4

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 3.5

Simplifica el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 3.5.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 3.5.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(4 x)}^{2}$

Paso 3.5.1.1.2

Simplifica.

$y = {(4 x)}^{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Simplifica ${(4 x)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$y = 4^{2} x^{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = 16 x^{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 {(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4})}^{2}$

Paso 5.2.3

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}})$

Paso 5.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}})$

Paso 5.2.4.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}})$

Paso 5.2.4.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{4^{2}})$

Paso 5.2.4.2

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{4^{2}})$

Paso 5.2.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{16})$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{16})$

Paso 5.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (16 x^{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{{(16 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $16 x^{2}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{16^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 5.3.3.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{4^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (16 x^{2}) = \frac{4^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 5.3.3.5

Evalúa el exponente.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 5.3.3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x^{2 (\frac{1}{2})}}{4}$

Paso 5.3.3.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.6.2.1

Cancela el factor común.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x^{2 (\frac{1}{2})}}{4}$

Paso 5.3.3.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.3.3.7

Simplifica.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (16 x^{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$