Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Reescribe $e^{2 x}$ como exponenciación.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Paso 2.2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Paso 2.3

Resuelve $u$

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Paso 2.3.1

Factoriza $u^{2} - u - 2$ con el método AC.

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Paso 2.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 2.3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Paso 2.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 2.3.3

Establece $u - 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $u - 2$ igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 2$

Paso 2.3.4

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.3.4.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 2.3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 2.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 2) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = 2, - 1$

Paso 2.4

Sustituye $2$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Paso 2.5

Resuelve $2 = e^{x}$ .

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Paso 2.5.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Paso 2.5.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.5.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Paso 2.5.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Paso 2.5.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Paso 2.6

Sustituye $- 1$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- 1 = e^{x}$

Paso 2.7

Resuelve $- 1 = e^{x}$ .

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Paso 2.7.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - 1$ .

$e^{x} = - 1$

Paso 2.7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Paso 2.7.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 1)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.7.4

No hay soluciones para $e^{x} = - 1$

No hay solución

Paso 2.8

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (2)$

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \geq \ln (2)$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2} = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ como ${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{1} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1.1

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Paso 4.3.1.2

Sea $u = e^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $e^{x}$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Paso 4.3.1.3

Factoriza $u^{2} - u - 2$ con el método AC.

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Paso 4.3.1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 4.3.1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Paso 4.3.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x}$ .

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$

Paso 4.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} + 1 = 0$

Paso 4.3.3

Establece $e^{x} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.3.1

Establece $e^{x} - 2$ igual a $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Paso 4.3.3.2

Resuelve $e^{x} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{x} = 2$

Paso 4.3.3.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Paso 4.3.3.2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Paso 4.3.3.2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Paso 4.3.3.2.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Paso 4.3.4

Establece $e^{x} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.4.1

Establece $e^{x} + 1$ igual a $0$ .

$e^{x} + 1 = 0$

Paso 4.3.4.2

Resuelve $e^{x} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.3.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{x} = - 1$

Paso 4.3.4.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Paso 4.3.4.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 1)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3.4.2.4

No hay soluciones para $e^{x} = - 1$

No hay solución

Paso 4.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$ verdadera.

$x = \ln (2)$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(\ln (2), \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > \ln (2)}$

Paso 6