Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ como una ecuación.

$y = 2 (x^{7} + 2)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 (y^{7} + 2)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 (y^{7} + 2) = x$ .

$2 (y^{7} + 2) = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 (y^{7} + 2) = x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 (y^{7} + 2) = x$ por $2$ .

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y^{7} + 2$ por $1$ .

$y^{7} + 2 = \frac{x}{2}$

Paso 3.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{7} = \frac{x}{2} - 2$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$

Paso 3.5

Simplifica $\sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$ .

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Paso 3.5.1

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.5.2

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 2 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.5.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$

Paso 3.5.5

Reescribe $\sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$ como $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ es la inversa de $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 (x^{7} + 2))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \frac{\sqrt[7]{(2 (x^{7} + 2)) - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Paso 5.2.3

Combina $\sqrt[7]{2 (x^{7} + 2) - 4}$ y $\sqrt[7]{2}$ en un solo radical.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) - 4}{2}}$

Paso 5.2.4

Factoriza $2$ de $2 (x^{7} + 2) - 4$ .

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Paso 5.2.4.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2}{2}}$

Paso 5.2.4.2

Factoriza $2$ de $2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2 - 2)}{2}}$

Paso 5.2.5

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.2.5.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 0)}{2}}$

Paso 5.2.5.2

Suma $x^{7}$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

Paso 5.2.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.6.1

Reduce la expresión $\frac{2 x^{7}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.6.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

Paso 5.2.6.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Paso 5.2.6.2

Divide $x^{7}$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Paso 5.2.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 ({(\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})}^{7} + 2)$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{\sqrt[7]{x - 4}}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Paso 5.3.3.2

Reescribe ${\sqrt[7]{x - 4}}^{7}$ como $x - 4$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{({(x - 4)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Paso 5.3.3.2.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Paso 5.3.3.2.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Paso 5.3.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Paso 5.3.3.2.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Paso 5.3.3.3

Reescribe ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ como $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{2}$ como $2^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{(2^{\frac{1}{7}})}^{7}} + 2)$

Paso 5.3.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{1}{7} \cdot 7}} + 2)$

Paso 5.3.3.3.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

Paso 5.3.3.3.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

Paso 5.3.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

Paso 5.3.3.3.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

Paso 5.3.4

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Paso 5.3.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.5.1

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Paso 5.3.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 2 \cdot 2}{2})$

Paso 5.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 4}{2})$

Paso 5.3.6.2

Suma $- 4$ y $4$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x + 0}{2})$

Paso 5.3.6.3

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ es la inversa de $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$