Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 5 x - 6}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} - 5 x - 6}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} - 5 x - 6 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2} - 5 x - 6$ con el método AC.

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Paso 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 6, 1$

Paso 2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 6) (x + 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 1$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 6$

$x > 6$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{2} - 5 \cdot - 4 - 6 \geq 0$

Paso 2.8.1.3

$30$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 5 \cdot 0 - 6 \geq 0$

Paso 2.8.2.3

$- 6$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

${(8)}^{2} - 5 \cdot 8 - 6 \geq 0$

Paso 2.8.3.3

$18$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 1$ o $x \geq 6$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 5 x - 6}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x^{2} - 5 x - 6} = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x^{2} - 5 x - 6}}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 5 x - 6}$ como ${(x^{2} - 5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 5 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica ${({(x^{2} - 5 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 5 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 5 x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} - 5 x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} - 5 x - 6)}^{1} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

$x^{2} - 5 x - 6 = 0^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Factoriza $x^{2} - 5 x - 6$ con el método AC.

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Paso 4.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 6, 1$

Paso 4.3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 6) (x + 1) = 0$

Paso 4.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 4.3.3

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.3.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 4.3.3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 4.3.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 1$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (6, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - 1, x > 6}$

Paso 6