Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$ no está definida.

$x = 2$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1.1

Reescribe $- x^{3}$ como ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 8}$

Paso 5.1.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 2^{3}}$

Paso 5.1.1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = - x$ y $b = 2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Paso 5.1.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.1.4.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Paso 5.1.1.4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (1 x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Paso 5.1.1.4.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Paso 5.1.1.4.4

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.1.1.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 1 x \cdot 2 + 2^{2})}$

Paso 5.1.1.4.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Paso 5.1.1.4.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Paso 5.1.1.4.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.1.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.1.2.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) - 1 (- 2)) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.1.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.1.2.4

Reescribe los negativos.

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Paso 5.1.2.4.1

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- 1 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.1.2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.2

Expande $- (3 x^{4} - 2 x + 1)$ .

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Paso 5.2.1

Haz que $3 x^{4} - 2 x + 1$ sea negativo.

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x + 1)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.2.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.2.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.2.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.3

Expande $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x + 4) - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.7

Reordena $x$ y $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.8

Reordena $x$ y $4$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.9

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.10

Multiplica $2$ por $x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.13

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.17

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.18

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4}$

Paso 5.3.19

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Paso 5.3.20

Mueve $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 8}$

Paso 5.3.21

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 + 4 x - 4 x - 8}$

Paso 5.3.22

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 4 x - 4 x - 8}$

Paso 5.3.23

Resta $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 - 8}$

Paso 5.3.24

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} - 8}$

Paso 5.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Paso 5.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{3}$ .

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Paso 5.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$3 x^{4}$

$0$

$24 x$

Paso 5.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x^{4} + 0 + 0 + 24 x$ .

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$

Paso 5.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$

Paso 5.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$	-	$1$

Paso 5.10

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- 3 x + \frac{- 22 x - 1}{x^{3} - 8}$

Paso 5.11

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$- 3 x + \frac{22 x + 1}{- x^{3} + 8}$

Paso 5.12

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - 3 x$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 2$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - 3 x$

Paso 7