Precálculo Ejemplos

$g (x) = \sqrt{5 - \sqrt{2 x - 1}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{2 x - 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x - 1 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$2 x \geq 1$

Paso 2.2

Divide cada término en $2 x \geq 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $2 x \geq 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Paso 3

Establece el radicando en $\sqrt{5 - \sqrt{2 x - 1}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$5 - \sqrt{2 x - 1} \geq 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta $5$ de ambos lados de la desigualdad.

$- \sqrt{2 x - 1} \geq - 5$

Paso 4.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(- \sqrt{2 x - 1})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Paso 4.3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x - 1}$ como ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica ${(- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 5)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 5)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 x - 1)}^{1} \geq {(- 5)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.5

Simplifica.

$2 x - 1 \geq {(- 5)}^{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$2 x - 1 \geq 25$

Paso 4.4

Resuelve $x$

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Paso 4.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.4.1.1

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$2 x \geq 25 + 1$

Paso 4.4.1.2

Suma $25$ y $1$ .

$2 x \geq 26$

Paso 4.4.2

Divide cada término en $2 x \geq 26$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.4.2.1

Divide cada término en $2 x \geq 26$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{26}{2}$

Paso 4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{26}{2}$

Paso 4.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{26}{2}$

Paso 4.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.3.1

Divide $26$ por $2$ .

$x \geq 13$

Paso 4.5

Obtén el dominio de $5 - \sqrt{2 x - 1}$ .

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Paso 4.5.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 x - 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x - 1 \geq 0$

Paso 4.5.2

Resuelve $x$

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Paso 4.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$2 x \geq 1$

Paso 4.5.2.2

Divide cada término en $2 x \geq 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x \geq 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Paso 4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Paso 4.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Paso 4.5.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 4.6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 13$

$x > 13$

Paso 4.7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 4.7.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$5 - \sqrt{2 (0) - 1} \geq 0$

Paso 4.7.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.7.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 13$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.7.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 13$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 4.7.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$5 - \sqrt{2 (3) - 1} \geq 0$

Paso 4.7.2.3

$2.76393202$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 13$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 13$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 16$

Paso 4.7.3.2

Reemplaza $x$ con $16$ en la desigualdad original.

$5 - \sqrt{2 (16) - 1} \geq 0$

Paso 4.7.3.3

$- 0.56776436$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 13$ Verdadero

$x > 13$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 13$ Verdadero

$x > 13$ Falso

Paso 4.8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1}{2} \leq x \leq 13$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[\frac{1}{2}, 13]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | \frac{1}{2} \leq x \leq 13}$

Paso 6