Precálculo Ejemplos

$f (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ como una ecuación.

$y = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(y - 7)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(y - 7)}^{\frac{1}{3}} = x$ .

${(y - 7)}^{\frac{1}{3}} = x$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y - 7)}^{1} = x^{3}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica.

$y - 7 = x^{3}$

Paso 3.4

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y = x^{3} + 7$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$ es la inversa de $f (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = {({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 7$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 7$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 7$

Paso 5.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = (x - 7) + 7$

Paso 5.2.3.2

Simplifica.

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = x - 7 + 7$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 7 + 7$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 7$ y $7$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{3} + 7)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{3} + 7) = {((x^{3} + 7) - 7)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $(x^{3} + 7) - 7$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $7$ de $7$ .

$f (x^{3} + 7) = {(x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$f (x^{3} + 7) = {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.3.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{3} + 7) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 5.3.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común.

$f (x^{3} + 7) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 5.3.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x^{3} + 7) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$ es la inversa de $f (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$