Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ como una ecuación.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $7$ .

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = 7 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = 7 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt[3]{y + 8} = 7 x$

Paso 3.4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{y + 8}}^{3} = {(7 x)}^{3}$

Paso 3.5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y + 8}$ como ${(y + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(7 x)}^{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${({(y + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 8)}^{1} = {(7 x)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica.

$y + 8 = {(7 x)}^{3}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica ${(7 x)}^{3}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $7 x$ .

$y + 8 = 7^{3} x^{3}$

Paso 3.5.3.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$y + 8 = 343 x^{3}$

Paso 3.6

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 343 x^{3} - 8$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 {(\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7})}^{3} - 8$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{3}}{7^{3}}) - 8$

Paso 5.2.3.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x + 8}}^{3}$ como $x + 8$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 8}$ como ${(x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{({(x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7^{3}}) - 8$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7^{3}}) - 8$

Paso 5.2.3.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 8$

Paso 5.2.3.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 8$

Paso 5.2.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{7^{3}}) - 8$

Paso 5.2.3.2.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{7^{3}}) - 8$

Paso 5.2.3.3

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{343}) - 8$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $343$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{343}) - 8$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = x + 8 - 8$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 8 - 8$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $8$ de $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (343 x^{3} - 8)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{(343 x^{3} - 8) + 8}}{7}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 8$ y $8$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3} + 0}}{7}$

Paso 5.3.3.2

Suma $343 x^{3}$ y $0$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3}}}{7}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $343 x^{3}$ como ${(7 x)}^{3}$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{{(7 x)}^{3}}}{7}$

Paso 5.3.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{7 x}{7}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{7 x}{7}$

Paso 5.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (343 x^{3} - 8) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$