Precálculo Ejemplos

vertices at $(6, 0)$ , $(- 6, 0)$ ; foci at $(8, 0)$ , $(- 8, 0)$

Paso 1

Obtén el centro $(h, k)$ mediante la obtención del punto medio de los vértices dados.

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Paso 1.1

Usa la fórmula del punto medio para obtener el punto medio del segmento.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Paso 1.2

Sustituye los valores de $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{- 6 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $- 6 + 6$ y $2$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$(\frac{2 \cdot - 3 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Paso 1.3.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$(\frac{2 \cdot - 3 + 2 \cdot 3}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Paso 1.3.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 3 + 2 \cdot 3$ .

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Paso 1.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2 (1)}, \frac{0 + 0}{2})$

Paso 1.3.4.2

Cancela el factor común.

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2 \cdot 1}, \frac{0 + 0}{2})$

Paso 1.3.4.3

Reescribe la expresión.

$(\frac{- 3 + 3}{1}, \frac{0 + 0}{2})$

Paso 1.3.4.4

Divide $- 3 + 3$ por $1$ .

$(- 3 + 3, \frac{0 + 0}{2})$

Paso 1.4

Suma $- 3$ y $3$ .

$(0, \frac{0 + 0}{2})$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $0 + 0$ y $2$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$(0, \frac{2 (0) + 0}{2})$

Paso 1.5.2

Factoriza $2$ de $0$ .

$(0, \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2})$

Paso 1.5.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ .

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2})$

Paso 1.5.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (1)})$

Paso 1.5.4.2

Cancela el factor común.

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 \cdot 1})$

Paso 1.5.4.3

Reescribe la expresión.

$(0, \frac{0 + 0}{1})$

Paso 1.5.4.4

Divide $0 + 0$ por $1$ .

$(0, 0 + 0)$

Paso 1.6

Suma $0$ y $0$ .

$(0, 0)$

Paso 2

Grafica el centro y el foco y los vértices dados. Como los puntos están de forma horizontal, la hipérbola se abre hacia la izquierda y hacia la derecha y la fórmula de la hipérbola será $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Paso 3

Obtén $a$ mediante la obtención de la distancia entre un vértice y el punto central.

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Paso 3.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$a = \sqrt{{((- 6) - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Resta $0$ de $- 6$ .

$a = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{36 + {(0 - 0)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta $0$ de $0$ .

$a = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Paso 3.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$a = \sqrt{36 + 0}$

Paso 3.3.5

Suma $36$ y $0$ .

$a = \sqrt{36}$

Paso 3.3.6

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$a = \sqrt{6^{2}}$

Paso 3.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$a = 6$

Paso 4

Obtén $c$ mediante la obtención de la distancia entre un foco y el punto central.

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Paso 4.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 4.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$c = \sqrt{{((- 8) - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Resta $0$ de $- 8$ .

$c = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{64 + {(0 - 0)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Resta $0$ de $0$ .

$c = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Paso 4.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$c = \sqrt{64 + 0}$

Paso 4.3.5

Suma $64$ y $0$ .

$c = \sqrt{64}$

Paso 4.3.6

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$c = \sqrt{8^{2}}$

Paso 4.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$c = 8$

Paso 5

Inserta los valores de $a$ y $c$ en $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ y resuelve para $b^{2}$ .

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Paso 5.1

Inserta $8$ para $c$ y $6$ para $a$ .

$8^{2} = 6^{2} + b^{2}$

Paso 5.2

Reescribe la ecuación como $6^{2} + b^{2} = 8^{2}$ .

$6^{2} + b^{2} = 8^{2}$

Paso 5.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$36 + b^{2} = 8^{2}$

Paso 5.4

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$36 + b^{2} = 64$

Paso 5.5

Mueve todos los términos que no contengan $b^{2}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.5.1

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$b^{2} = 64 - 36$

Paso 5.5.2

Resta $36$ de $64$ .

$b^{2} = 28$

Paso 6

Sustituye los valores obtenidos en la fórmula y simplifica.

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Paso 6.1

Sustituye los valores obtenidos en la fórmula.

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28} = 1$

Paso 6.2

Combina los términos opuestos en $\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28}$ .

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Paso 6.2.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28} = 1$

Paso 6.2.2

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{y^{2}}{28} = 1$

Paso 6.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{28} = 1$

Paso 7