Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ no está definida.

$x = - 2, x = 2$

Paso 2

Como $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 2$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 2$ desde la derecha, entonces $x = - 2$ es una asíntota vertical.

$x = - 2$

Paso 3

Como $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $2$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $2$ desde la derecha, entonces $x = 2$ es una asíntota vertical.

$x = 2$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 2, 2$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} + x^{2}$ .

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Paso 8.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Paso 8.1.1.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}{x^{2} - 4}$

Paso 8.1.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{x^{2} - 4}$

Paso 8.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 8.1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.2

Expande $x^{2} (x + 1)$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.2.2

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2 + 1} + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.2.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.2.6

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 8.3

Expande $(x + 2) (x - 2)$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x (x - 2) + 2 (x - 2)}$

Paso 8.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}$

Paso 8.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Paso 8.3.4

Reordena $x$ y $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Paso 8.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Paso 8.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Paso 8.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Paso 8.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Paso 8.3.9

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}$

Paso 8.3.10

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} + 0 - 4}$

Paso 8.3.11

Resta $4$ de $0$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Paso 8.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 8.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 8.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Paso 8.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 0 - 4 x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Paso 8.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

Paso 8.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Paso 8.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Paso 8.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

Paso 8.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0 - 4$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

Paso 8.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

$4 x$

$4$

Paso 8.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x + 1 + \frac{4 x + 4}{x^{2} - 4}$

Paso 8.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x + 1$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 2, 2$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x + 1$

Paso 10