Precálculo Ejemplos

$h (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - x}$ no está definida.

$x = 0, x = 1$

Paso 2

Como $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - x}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - x}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - x}$

Paso 6.1.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - x}$

Paso 6.1.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - x}$

Paso 6.1.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - x}$

Paso 6.1.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x - x}$

Paso 6.1.2.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

Paso 6.1.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x - 1)}$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x - 1)}$

Paso 6.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Paso 6.2

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$1$

Paso 6.3

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

Paso 6.4

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Paso 6.5

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Paso 6.6

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					+	$x$

Paso 6.7

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					+	$x$	+	$1$

Paso 6.8

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					+	$x$	+	$1$

Paso 6.9

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					+	$x$	+	$1$
					+	$x$	+	$0$

Paso 6.10

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 0$ .

				$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					+	$x$	+	$1$
					-	$x$	-	$0$

Paso 6.11

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					+	$x$	+	$1$
					-	$x$	-	$0$
							+	$1$

Paso 6.12

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x + 1 + \frac{1}{x}$

Paso 6.13

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$x + 1 + \frac{x - 1}{x^{2} - x}$

Paso 6.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x + 1$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x + 1$

Paso 8