Precálculo Ejemplos

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ como una ecuación.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{y}}{4}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{7}}{4^{7}}$

Paso 3.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{y}}^{7}$ como $\sqrt[3]{y^{7}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{7}}}{4^{7}}$

Paso 3.1.2.2

Reescribe $y^{7}$ como ${(y^{2})}^{3} y$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Factoriza $y^{6}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{6} y}}{4^{7}}$

Paso 3.1.2.2.2

Reescribe $y^{6}$ como ${(y^{2})}^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{{(y^{2})}^{3} y}}{4^{7}}$

Paso 3.1.2.3

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{4^{7}}$

Paso 3.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $7$ .

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384}$

Paso 3.2

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$ .

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$

Paso 3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y}$ como $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = x$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $16384$ .

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Paso 3.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Simplifica $16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384}$ .

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Paso 3.5.1.1

Cancela el factor común de $16384$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Paso 3.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} y^{\frac{1}{3}} = 16384 x$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{2 + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Paso 3.5.1.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Paso 3.5.1.2.3

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$y^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Paso 3.5.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} = 16384 x$

Paso 3.5.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.2.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$y^{\frac{6 + 1}{3}} = 16384 x$

Paso 3.5.1.2.5.2

Suma $6$ y $1$ .

$y^{\frac{7}{3}} = 16384 x$

Paso 3.6

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{7}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Paso 3.7

Simplifica el exponente.

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Paso 3.7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Paso 3.7.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Paso 3.7.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Paso 3.7.1.1.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.7.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Paso 3.7.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Paso 3.7.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.7.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Paso 3.7.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Paso 3.7.1.1.2

Simplifica.

$y = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Paso 3.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.2.1

Simplifica ${(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$ .

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Paso 3.7.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $16384 x$ .

$y = 16384^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Paso 3.7.2.1.1.2

Reescribe $16384$ como $4^{7}$ .

$y = {(4^{7})}^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Paso 3.7.2.1.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Paso 3.7.2.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.7.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Paso 3.7.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 4^{3} x^{\frac{3}{7}}$

Paso 3.7.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$y = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$

Paso 5.2.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{3}$

Paso 5.2.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{x}}{4}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{4^{3}})$

Paso 5.2.4

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 5.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

Paso 5.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

Paso 5.2.4.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Paso 5.2.4.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Paso 5.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Paso 5.2.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Paso 5.2.5

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Paso 5.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (64 x^{\frac{3}{7}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{64 x^{\frac{3}{7}}}}{4})}^{7}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Reescribe $64 x^{\frac{3}{7}}$ como ${(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}}}{4})}^{7}$

Paso 5.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Paso 5.3.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.4.2.1

Divide $x^{\frac{1}{7}}$ por $1$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Paso 5.3.4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 5.3.4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Paso 5.3.4.2.2.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Paso 5.3.4.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$