Precálculo Ejemplos

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y - 400 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $400$ a ambos lados de la ecuación.

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- 25 x^{2} + 200 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $200$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $200$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{100}{- 25}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $100$ y $- 25$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $100$ .

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $200$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 25$ .

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $40000$ por $- 100$ .

$e = 0 - - 400$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 400$ .

$e = 0 + 400$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $0$ y $400$ .

$e = 400$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$

Paso 1.3

Sustituye $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ por $- 25 x^{2} + 200 x$ en la ecuación $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400 + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Paso 1.4

Mueve $400$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $400$ a ambos lados.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = 400 - 400$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $9 y^{2} - 90 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 90$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 90$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 45}{9}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 45$ y $9$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 45$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 5}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $- 5$ por $1$ .

$d = - 5$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 90$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $8100$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $225$ .

$e = 0 - 225$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $225$ de $0$ .

$e = - 225$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ .

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

Paso 1.6

Sustituye $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ por $9 y^{2} - 90 y$ en la ecuación $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = 400 - 400$

Paso 1.7

Mueve $- 225$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $225$ a ambos lados.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 400 - 400 + 225$

Paso 1.8

Simplifica $400 - 400 + 225$ .

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Paso 1.8.1

Resta $400$ de $400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 0 + 225$

Paso 1.8.2

Suma $0$ y $225$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 225$

Paso 1.9

Divide cada término por $225$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener las asíntotas y la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 5$

$h = 4$

Paso 4

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Paso 5

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 5.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Paso 5.2

Simplifica $\frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Paso 5.2.1.3

Combina $\frac{5}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $\frac{5}{3} \cdot - 4$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Combina $\frac{5}{3}$ y $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 4}{3} + 5$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 5$

Paso 5.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5$

Paso 5.2.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.2.3

Combina $5$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 5 \cdot 3}{3}$

Paso 5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 15}{3}$

Paso 5.2.5.2

Suma $- 20$ y $15$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Paso 5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

Paso 6

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 6.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Paso 6.2

Simplifica $- \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Paso 6.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Paso 6.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3}) + 5$

Paso 6.2.1.4.2

Combina $4$ y $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3} + 5$

Paso 6.2.1.4.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Paso 6.2.1.5

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Paso 6.2.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 6.2.3

Combina $5$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 5 \cdot 3}{3}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 15}{3}$

Paso 6.2.5.2

Suma $20$ y $15$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Paso 7

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Paso 8

Las asíntotas son $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$ y $y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$ .

Asíntotas: $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Paso 9