Precálculo Ejemplos

$\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$x (2 x^{2}) - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $x$ de $- 5 x^{2}$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) - 3 x = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $x$ de $x (2 x^{2}) + x (- 5 x)$ .

$x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $x$ de $x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3$ .

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.2

Reescribe $- 5$ como $1$ más $- 6$

$x (2 x^{2} + (1 - 6) x - 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x (2 x^{2} + x - 6 x - 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x ((2 x^{2} + x) - 6 x - 3) = 0$

Paso 2.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)) = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$x ((2 x + 1) (x - 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (2 x + 1) (x - 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 2.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (2 x + 1) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 3$

Paso 2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Paso 2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$2 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 \geq 0$

Paso 2.9.1.3

$- 90$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.25$

Paso 2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.25$ en la desigualdad original.

$2 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} - 3 \cdot - 0.25 \geq 0$

Paso 2.9.2.3

$0.40625$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 \geq 0$

Paso 2.9.3.3

$- 10$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 2.9.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$2 {(6)}^{3} - 5 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 \geq 0$

Paso 2.9.4.3

$234$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 0$ o $x \geq 3$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq 0, x \geq 3}$

Paso 4