Precálculo Ejemplos

$\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$ no está definida.

$x = - \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $x$ de $9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 6.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 6.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 6.1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x (9 x^{2}) + x (3 x)$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 6.1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1.1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 6.1.1.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 3 (x) - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 6.1.1.2.1.2

Reescribe $3$ como $- 3$ más $6$

$\frac{x (9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 6.1.1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 6.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.1.1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x ((9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 6.1.1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 6.1.1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$\frac{x ((3 x - 1) (3 x + 2))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 6.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 6.1.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 (x) - 2}$

Paso 6.1.2.1.2

Reescribe $3$ como $- 3$ más $6$

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2}$

Paso 6.1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2}$

Paso 6.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2}$

Paso 6.1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1)}$

Paso 6.1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de $3 x - 1$ .

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Paso 6.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

Paso 6.1.4

Cancela el factor común de $3 x + 2$ .

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Paso 6.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

Paso 6.1.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$x$

Paso 6.2

Como no hay una parte polinómica de la división polinómica, no hay asíntotas oblicuas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Paso 8