Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x + 9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{x + 9}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{x + 9}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{y + 9}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{y + 9} = x$ .

$\sqrt{y + 9} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 9}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 9}$ como ${(y + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 9)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$y + 9 = x^{2}$

Paso 3.4

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 9$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x + 9}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{x + 9})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(\sqrt{x + 9})}^{2} - 9$

Paso 5.2.3

Reescribe ${\sqrt{x + 9}}^{2}$ como $x + 9$ .

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Paso 5.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 9}$ como ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9$

Paso 5.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9$

Paso 5.2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} - 9$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} - 9$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = (x + 9) - 9$

Paso 5.2.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = x + 9 - 9$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 9 - 9$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{2} - 9)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} - 9) = \sqrt{(x^{2} - 9) + 9}$

Paso 5.3.3

Suma $- 9$ y $9$ .

$f (x^{2} - 9) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Paso 5.3.4

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$f (x^{2} - 9) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{2} - 9) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$