Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x} + 10$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{x} + 10$ como una ecuación.

$y = \sqrt{x} + 10$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{y} + 10$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{y} + 10 = x$ .

$\sqrt{y} + 10 = x$

Paso 3.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{y} = x - 10$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x - 10)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(x - 10)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 10)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 10)}^{2}$ como $(x - 10) (x - 10)$ .

$y = (x - 10) (x - 10)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - 10) (x - 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (x - 10) - 10 (x - 10)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x$ .

$y = x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 10$ por $- 10$ .

$y = x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $10 x$ de $- 10 x$ .

$y = x^{2} - 20 x + 100$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{x} + 10)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(\sqrt{x} + 10)}^{2} - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Reescribe ${(\sqrt{x} + 10)}^{2}$ como $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = (\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.2

Expande $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 10) + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.3.1.1

Multiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3.1.2.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3.1.3

Mueve $10$ a la izquierda de $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \cdot \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3.1.4

Multiplica $10$ por $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.3.2

Suma $10 \sqrt{x}$ y $10 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Paso 5.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 20 \cdot 10 + 100$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $- 20$ por $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1.1

Resta $20 \sqrt{x}$ de $20 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0 + 100 - 200 + 100$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 100 - 200 + 100$

Paso 5.2.4.2

Resta $200$ de $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x - 100 + 100$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 100 + 100$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 100$ y $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{2} - 20 x + 100)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

Paso 5.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1.1

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 10^{2}} + 10$

Paso 5.3.4.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$20 x = 2 \cdot x \cdot 10$

Paso 5.3.4.1.3

Reescribe el polinomio.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2}} + 10$

Paso 5.3.4.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{{(x - 10)}^{2}} + 10$

Paso 5.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x - 10 + 10$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x - 10 + 10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1

Suma $- 10$ y $10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$