Precálculo Ejemplos

$f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ como una ecuación.

$y = 10 \sqrt[4]{x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 10 \sqrt[4]{y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $10 \sqrt[4]{y} = x$ .

$10 \sqrt[4]{y} = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $10 \sqrt[4]{y} = x$ por $10$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $10 \sqrt[4]{y} = x$ por $10$ .

$\frac{10 \sqrt[4]{y}}{10} = \frac{x}{10}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 \sqrt[4]{y}}{10} = \frac{x}{10}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $\sqrt[4]{y}$ por $1$ .

$\sqrt[4]{y} = \frac{x}{10}$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{y}$ como $y^{\frac{1}{4}}$ .

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(\frac{x}{10})}^{4}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{10}$ .

$y = \frac{x^{4}}{10^{4}}$

Paso 3.4.3.1.2

Eleva $10$ a la potencia de $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{10000}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$ es la inversa de $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{{(10 \sqrt[4]{x})}^{4}}{10000}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla del producto a $10 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10^{4} {\sqrt[4]{x}}^{4}}{10000}$

Paso 5.2.3.2

Eleva $10$ a la potencia de $4$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 {\sqrt[4]{x}}^{4}}{10000}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe ${\sqrt[4]{x}}^{4}$ como $x$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{10000}$

Paso 5.2.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{10000}$

Paso 5.2.3.3.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{4}{4}}}{10000}$

Paso 5.2.3.3.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{4}{4}}}{10000}$

Paso 5.2.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

Paso 5.2.3.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $10000$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{4}}{10000})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10000}}$

Paso 5.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10000}}$

Paso 5.3.4

Reescribe $10000$ como $10^{4}$ .

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10^{4}}}$

Paso 5.3.5

Reescribe $\frac{x^{4}}{10^{4}}$ como ${(\frac{x}{10})}^{4}$ .

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{{(\frac{x}{10})}^{4}}$

Paso 5.3.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Paso 5.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$ es la inversa de $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$