Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[5]{x + 2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt[5]{x + 2}$ como una ecuación.

$y = \sqrt[5]{x + 2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[5]{y + 2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[5]{y + 2} = x$ .

$\sqrt[5]{y + 2} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $5$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[5]{y + 2}}^{5} = x^{5}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{y + 2}$ como ${(y + 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y + 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(y + 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 2)}^{1} = x^{5}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$y + 2 = x^{5}$

Paso 3.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{5} - 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{5} - 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{5} - 2$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[5]{x + 2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 2}) = {(\sqrt[5]{x + 2})}^{5} - 2$

Paso 5.2.3

Reescribe ${\sqrt[5]{x + 2}}^{5}$ como $x + 2$ .

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Paso 5.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 2}) = {({(x + 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 2$

Paso 5.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 2$

Paso 5.2.3.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{5}{5}} - 2$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{5}{5}} - 2$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 2}) = (x + 2) - 2$

Paso 5.2.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 2}) = x + 2 - 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 2}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{5} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{5} - 2) = \sqrt[5]{(x^{5} - 2) + 2}$

Paso 5.3.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (x^{5} - 2) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Paso 5.3.4

Suma $x^{5}$ y $0$ .

$f (x^{5} - 2) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (x^{5} - 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{5} - 2$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[5]{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{5} - 2$