Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ no está definida.

$x = - 3, x = 3$

Paso 2

Como $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 3$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 3$ desde la derecha, entonces $x = - 3$ es una asíntota vertical.

$x = - 3$

Paso 3

Como $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $3$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $3$ desde la derecha, entonces $x = 3$ es una asíntota vertical.

$x = 3$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 3, 3$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} - 8 x$ .

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Paso 8.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

Paso 8.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

Paso 8.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $- 8 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 8}{3 x^{2} - 27}$

Paso 8.1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8}{3 x^{2} - 27}$

Paso 8.1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x - 8)}{3 x^{2} - 27}$

Paso 8.1.1.2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 8.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 8.1.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x ((x - 4) (x + 2))}{3 x^{2} - 27}$

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 x^{2} - 27}$

Paso 8.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 27$ .

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Paso 8.1.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2}) - 27}$

Paso 8.1.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 9}$

Paso 8.1.2.1.3

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 \cdot - 9$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2} - 9)}$

Paso 8.1.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2} - 3^{2})}$

Paso 8.1.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2

Expande $x (x - 4) (x + 2)$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot - 4) (x + 2)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x (x + 2) + x \cdot (- 4 (x + 2))}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 (x + 2))}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.5

Mueve $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot (2 x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.6

Reordena $x$ y $2$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.7

Reordena $x$ y $- 4$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.8

Reordena $x$ y $- 4$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot x \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.9

Mueve $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.10

Multiplica $2$ por $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.11

Multiplica $- 4$ por $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.15

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.18

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.19

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.20

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.22

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.23

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.24

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.25

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.26

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.27

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 8 x}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.28

Resta $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.3

Expande $3 (x + 3) (x - 3)$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{(3 x + 3 \cdot 3) (x - 3)}$

Paso 8.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x - 3) + 3 \cdot (3 (x - 3))}$

Paso 8.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 3 \cdot (3 (x - 3))}$

Paso 8.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.3.5

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{1 + 1} + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.3.10

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.3.11

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.3.12

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x + 9 \cdot - 3}$

Paso 8.3.13

Multiplica $9$ por $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x - 27}$

Paso 8.3.14

Suma $- 9 x$ y $9 x$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} + 0 - 27}$

Paso 8.3.15

Resta $27$ de $0$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

Paso 8.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

Paso 8.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x^{2}$ .

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

Paso 8.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Paso 8.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 0 - 9 x$ .

						$\frac{x}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$

Paso 8.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$2 x^{2}$

$x$

Paso 8.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

						$\frac{x}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Paso 8.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x^{2}$ .

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Paso 8.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$18$

Paso 8.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} + 0 + 18$ .

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$

Paso 8.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$
									+	$x$	-	$18$

Paso 8.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{x - 18}{3 x^{2} - 27}$

Paso 8.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 3, 3$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 10