Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x + 7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt[3]{x + 7}$ como una ecuación.

$y = \sqrt[3]{x + 7}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{y + 7}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{y + 7} = x$ .

$\sqrt[3]{y + 7} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{y + 7}}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y + 7}$ como ${(y + 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 7)}^{1} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$y + 7 = x^{3}$

Paso 3.4

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{3} - 7$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 7$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{3} - 7$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x + 7}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = {(\sqrt[3]{x + 7})}^{3} - 7$

Paso 5.2.3

Reescribe ${\sqrt[3]{x + 7}}^{3}$ como $x + 7$ .

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Paso 5.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 7}$ como ${(x + 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = {({(x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 7$

Paso 5.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 7$

Paso 5.2.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{3}{3}} - 7$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{3}{3}} - 7$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = (x + 7) - 7$

Paso 5.2.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = x + 7 - 7$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 7 - 7$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{3} - 7)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{3} - 7) = \sqrt[3]{(x^{3} - 7) + 7}$

Paso 5.3.3

Suma $- 7$ y $7$ .

$f (x^{3} - 7) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Paso 5.3.4

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$f (x^{3} - 7) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (x^{3} - 7) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{3} - 7$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 7$