Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{7} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = x^{7} - 7$ como una ecuación.

$y = x^{7} - 7$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = y^{7} - 7$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y^{7} - 7 = x$ .

$y^{7} - 7 = x$

Paso 3.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{7} = x + 7$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[7]{x + 7}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x + 7}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x + 7}$ es la inversa de $f (x) = x^{7} - 7$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (x^{7} - 7)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{7} - 7) = \sqrt[7]{(x^{7} - 7) + 7}$

Paso 5.2.3

Suma $- 7$ y $7$ .

$f^{- 1} (x^{7} - 7) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Paso 5.2.4

Suma $x^{7}$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{7} - 7) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Paso 5.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (x^{7} - 7) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[7]{x + 7})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[7]{x + 7}) = {(\sqrt[7]{x + 7})}^{7} - 7$

Paso 5.3.3

Reescribe ${\sqrt[7]{x + 7}}^{7}$ como $x + 7$ .

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Paso 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{x + 7}$ como ${(x + 7)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x + 7}) = {({(x + 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7} - 7$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 7$

Paso 5.3.3.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $7$ .

$f (\sqrt[7]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{7}{7}} - 7$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[7]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{7}{7}} - 7$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[7]{x + 7}) = (x + 7) - 7$

Paso 5.3.3.5

Simplifica.

$f (\sqrt[7]{x + 7}) = x + 7 - 7$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 7 - 7$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $7$ de $7$ .

$f (\sqrt[7]{x + 7}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\sqrt[7]{x + 7}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x + 7}$ es la inversa de $f (x) = x^{7} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x + 7}$