Precálculo Ejemplos

$x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ , $x + 2$

Paso 1

Divide $\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ con división sintética y comprueba si el resto es igual a $0$ . Si el resto es igual a $0$ , significa que $x + 2$ es un factor de $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ . Si el resto no es igual a $0$ , significa que $x + 2$ no es un factor de $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ .

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Paso 1.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

Paso 1.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

	$1$

Paso 1.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(- 2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(2)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$

Paso 1.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$	$0$

Paso 1.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$

Paso 1.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$	$0$

Paso 1.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 8)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$

Paso 1.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Paso 1.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 8)$ por el divisor $(- 2)$ y coloca el resultado de $(16)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 16)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Paso 1.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$	$0$

Paso 1.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x - 8$

Paso 1.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} - 8$

Paso 2

El resto de la división de $\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ es $0$ , lo que significa que $x + 2$ es un factor para $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ .

$x + 2$ es un factor para $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$

Paso 3

Obtén todas las raíces posibles para $x^{3} - 8$ .

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Paso 3.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 3.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Paso 4

Establece la próxima división para determinar si $x - 2$ es un factor del polinomio $x^{3} - 8$ .

$\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

Paso 5

Divide la expresión mediante división sintética para determinar si es un factor del polinomio. Como $x - 2$ se divide uniformemente en $x^{3} - 8$ , $x - 2$ es un factor del polinomio y hay un polinomio restante de $x^{2} + 2 x + 4$ .

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Paso 5.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Paso 5.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

	$1$

Paso 5.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$

Paso 5.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$	$2$

Paso 5.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

Paso 5.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$4$

Paso 5.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 8)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$

Paso 5.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$	$0$

Paso 5.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + 2 x + 4$

Paso 5.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} + 2 x + 4$

Paso 6

Obtén todas las raíces posibles para $x^{2} + 2 x + 4$ .

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Paso 6.1

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 6.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 7

El factor final es el único factor que queda de la división sintética.

$x^{2} + 2 x + 4$

Paso 8

El polinomio factorizado es $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$