Precálculo Ejemplos

$f (x) = 9 (x - 2)$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 9 (x - 2)$ como una ecuación.

$y = 9 (x - 2)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 9 (y - 2)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $9 (y - 2) = x$ .

$9 (y - 2) = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $9 (y - 2) = x$ por $9$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $9 (y - 2) = x$ por $9$ .

$\frac{9 (y - 2)}{9} = \frac{x}{9}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 (y - 2)}{9} = \frac{x}{9}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y - 2$ por $1$ .

$y - 2 = \frac{x}{9}$

Paso 3.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{9} + 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} + 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} + 2$ es la inversa de $f (x) = 9 (x - 2)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (9 (x - 2))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 (x - 2)) = \frac{9 (x - 2)}{9} + 2$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (9 (x - 2)) = \frac{9 (x - 2)}{9} + 2$

Paso 5.2.3.2

Divide $x - 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (9 (x - 2)) = x - 2 + 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (9 (x - 2)) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (9 (x - 2)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x}{9} + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x}{9} + 2) = 9 ((\frac{x}{9} + 2) - 2)$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $(\frac{x}{9} + 2) - 2$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{x}{9} + 2) = 9 (\frac{x}{9} + 0)$

Paso 5.3.3.2

Suma $\frac{x}{9}$ y $0$ .

$f (\frac{x}{9} + 2) = 9 (\frac{x}{9})$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{9} + 2) = 9 (\frac{x}{9})$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{9} + 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} + 2$ es la inversa de $f (x) = 9 (x - 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} + 2$