Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Simplifica $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

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Paso 2.1.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + \frac{3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Paso 2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Paso 2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x + 3 \cdot - 2}{x - 2} \geq 0$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x - 6}{x - 2} \geq 0$

Paso 2.1.3.3

Resta $6$ de $2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4}{x - 2} \geq 0$

Paso 2.1.3.4

Factoriza $x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 2.1.3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 2.1.3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x - 2} \geq 0$

Paso 2.2

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.4

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.5

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1$

$x = - 4$

$x = 2$

Paso 2.7

Consolida las soluciones.

$x = 1, - 4, 2$

Paso 2.8

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

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Paso 2.8.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 2.8.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 2.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Paso 2.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 2.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 2}{(- 6) - 2} + 3 \geq 0$

Paso 2.10.1.3

$- 1.75$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} + 2}{(0) - 2} + 3 \geq 0$

Paso 2.10.2.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.10.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.5$

Paso 2.10.3.2

Reemplaza $x$ con $1.5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(1.5)}^{2} + 2}{(1.5) - 2} + 3 \geq 0$

Paso 2.10.3.3

$- 5.5$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.10.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 2.10.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(4)}^{2} + 2}{(4) - 2} + 3 \geq 0$

Paso 2.10.4.3

$12$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 2.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 \leq x \leq 1$ o $x > 2$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 4, 1] \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 4 \leq x \leq 1, x > 2}$

Paso 6