Precálculo Ejemplos

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = 1$

$h = - 2$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 2, 1)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + 9}$

Paso 5.3.3

Suma $4$ y $9$ .

$\sqrt{13}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 3)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, - 1)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(- 2, 3), (- 2, - 1)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 1 + \sqrt{13})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 1 - \sqrt{13})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(- 2, 1 + \sqrt{13}), (- 2, 1 - \sqrt{13})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

Paso 8.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

Paso 8.3.3

Suma $4$ y $9$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{9}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{9}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

Paso 11.2

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x + 2) + 1$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

Paso 11.2.1.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} + 1$

Paso 11.2.1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 1$

Paso 11.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Paso 11.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 3}{3}$

Paso 11.2.2.3

Suma $4$ y $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

Paso 12.2

Simplifica $- \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x + 2) + 1$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

Paso 12.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

Paso 12.2.1.4

Multiplica $- \frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Paso 12.2.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - 2 (\frac{2}{3}) + 1$

Paso 12.2.1.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} + 1$

Paso 12.2.1.4.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 4}{3} + 1$

Paso 12.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{2 \cdot x}{3} + \frac{- 4}{3} + 1$

Paso 12.2.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 1$

Paso 12.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 12.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Paso 12.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 3}{3}$

Paso 12.2.2.3

Suma $- 4$ y $3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 12.2.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}, y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(- 2, 1)$

Vértices: $(- 2, 3), (- 2, - 1)$

Focos: $(- 2, 1 + \sqrt{13}), (- 2, 1 - \sqrt{13})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Parámetro focal: $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Asíntotas: $y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 15