Precálculo Ejemplos

$\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25} \div \frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$y^{2} - 10 y + 25 = 0$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y^{2} - 10 y + 5^{2} = 0$

Paso 2.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Paso 2.1.3

Reescribe el polinomio.

$y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 5$ .

${(y - 5)}^{2} = 0$

Paso 2.2

Establece $y - 5$ igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

Paso 2.3

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$y^{2} - 3 y - 10 = 0$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Factoriza $y^{2} - 3 y - 10$ con el método AC.

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Paso 4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 5, 2$

Paso 4.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(y - 5) (y + 2) = 0$

Paso 4.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 2 = 0$

Paso 4.3

Establece $y - 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.3.1

Establece $y - 5$ igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

Paso 4.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5$

Paso 4.4

Establece $y + 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.4.1

Establece $y + 2$ igual a $0$ .

$y + 2 = 0$

Paso 4.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 2$

Paso 4.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y - 5) (y + 2) = 0$ verdadera.

$y = 5, - 2$

Paso 5

Establece el denominador en $\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25} \div \frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10} = 0$

Paso 6

Resuelve $y$

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Paso 6.1

Establece el numerador igual a cero.

$3 y - 12 = 0$

Paso 6.2

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 6.2.1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = 12$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $3 y = 12$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $3 y = 12$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{12}{3}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{12}{3}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{12}{3}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

Divide $12$ por $3$ .

$y = 4$

Paso 7

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 4) \cup (4, 5) \cup (5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \neq - 2, 4, 5}$

Paso 8