Precálculo Ejemplos

$(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{a + b}{b}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$b = 0$

Paso 2

Establece el denominador en $\frac{a}{a + b}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$a + b = 0$

Paso 3

Resta $b$ de ambos lados de la ecuación.

$a = - b$

Paso 4

Establece el denominador en $\frac{a + b}{a}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$a = 0$

Paso 5

Establece el denominador en $(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$

Paso 6

Resuelve $a$

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Paso 6.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$a, a + b, 1$

Paso 6.1.2

Como $a, a + b, 1$ contiene tanto números como variables, hay cuatro pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para las partes numérica, variable y variable compuesta. Luego, multiplícalos.

Los pasos para obtener el MCM para $a, a + b, 1$ son los siguientes:

1. Busca el MCM para la parte numérica $1, 1, 1$ .

2. Busca el MCM para la parte variable $a^{1}$ .

3. Busca el MCM para la parte de variable compuesta $a + b$ .

4. Multiplica cada MCM junto.

Paso 6.1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 6.1.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 6.1.5

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 6.1.6

El factor para $a^{1}$ es $a$ en sí mismo.

$a^{1} = a$

$a$ ocurre $1$ vez.

Paso 6.1.7

El MCM de $a^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$a$

Paso 6.1.8

El factor para $a + b$ es $a + b$ en sí mismo.

$(a + b) = a + b$

$(a + b)$ ocurre $1$ vez.

Paso 6.1.9

El MCM de $a + b$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$a + b$

Paso 6.1.10

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$a (a + b)$

Paso 6.2

Multiplica cada término en $\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$ por $a (a + b)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.2.1

Multiplica cada término en $\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$ por $a (a + b)$ .

$\frac{a + b}{a} (a (a + b)) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 6.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a + b}{a} (a (a + b)) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Paso 6.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$(a + b) (a + b) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Paso 6.2.2.1.2

Eleva $a + b$ a la potencia de $1$ .

${(a + b)}^{1} (a + b) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Paso 6.2.2.1.3

Eleva $a + b$ a la potencia de $1$ .

${(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Paso 6.2.2.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(a + b)}^{1 + 1} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Paso 6.2.2.1.5

Suma $1$ y $1$ .

${(a + b)}^{2} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Paso 6.2.2.1.6

Cancela el factor común de $a + b$ .

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Paso 6.2.2.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{b}{a + b}$ al numerador.

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Paso 6.2.2.1.6.2

Factoriza $a + b$ de $a (a + b)$ .

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} ((a + b) a) = 0 (a (a + b))$

Paso 6.2.2.1.6.3

Cancela el factor común.

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} ((a + b) a) = 0 (a (a + b))$

Paso 6.2.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a (a + b))$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a \cdot a + a b)$

Paso 6.2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.2.1

Multiplica $a$ por $a$ .

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a^{2} + a b)$

Paso 6.2.3.2.2

Multiplica $0$ por $a^{2} + a b$ .

${(a + b)}^{2} - b a = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.3.1

Reescribe ${(a + b)}^{2}$ como $(a + b) (a + b)$ .

$(a + b) (a + b) - b a = 0$

Paso 6.3.2

Expande $(a + b) (a + b)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a (a + b) + b (a + b) - b a = 0$

Paso 6.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a \cdot a + a b + b (a + b) - b a = 0$

Paso 6.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - b a = 0$

Paso 6.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.3.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$a^{2} + a b + b a + b \cdot b - b a = 0$

Paso 6.3.3.1.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$a^{2} + a b + b a + b^{2} - b a = 0$

Paso 6.3.3.2

Suma $a b$ y $b a$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Reordena $b$ y $a$ .

$a^{2} + a b + a b + b^{2} - b a = 0$

Paso 6.3.3.2.2

Suma $a b$ y $a b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} - b a = 0$

Paso 6.3.4

Resta $b a$ de $2 a b$ .

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Paso 6.3.4.1

Mueve $b$ .

$a^{2} + b^{2} + 2 a b - 1 a b = 0$

Paso 6.3.4.2

Resta $a b$ de $2 a b$ .

$a^{2} + b^{2} + 1 a b = 0$

Paso 6.3.5

Multiplica $a$ por $1$ .

$a^{2} + b^{2} + a b = 0$

Paso 6.3.6

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.3.7

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = b$ y $c = b^{2}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $a$ .

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot (1 \cdot b^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.8

Simplifica.

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Paso 6.3.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.8.1.1

Factoriza $b^{2}$ de $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

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Paso 6.3.8.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.8.1.1.2

Factoriza $b^{2}$ de $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.8.1.1.3

Factoriza $b^{2}$ de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.8.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.8.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.8.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.8.1.5

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.8.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.8.1.7

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.3.9

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.3.9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.9.1.1

Factoriza $b^{2}$ de $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

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Paso 6.3.9.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.9.1.1.2

Factoriza $b^{2}$ de $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.9.1.1.3

Factoriza $b^{2}$ de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.9.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.9.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.9.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.9.1.5

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.9.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.9.1.7

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.9.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.3.9.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$a = \frac{- b + b i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.3.9.4

Factoriza $b$ de $- b + b i \sqrt{3}$ .

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Paso 6.3.9.4.1

Factoriza $b$ de $- b$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 + b i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.3.9.4.2

Factoriza $b$ de $b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 + b (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.3.9.4.3

Factoriza $b$ de $b \cdot - 1 + b (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.3.9.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.3.9.6

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3}))}{2}$

Paso 6.3.9.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 (1 - i \sqrt{3}))}{2}$

Paso 6.3.9.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.3.10

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.3.10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.10.1.1

Factoriza $b^{2}$ de $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

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Paso 6.3.10.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.10.1.1.2

Factoriza $b^{2}$ de $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.10.1.1.3

Factoriza $b^{2}$ de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.10.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.10.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.10.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.10.1.5

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.10.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.10.1.7

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.3.10.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$a = \frac{- b - b i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.3.10.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.10.4.1

Factoriza $b$ de $- b - b i \sqrt{3}$ .

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Paso 6.3.10.4.1.1

Factoriza $b$ de $- b$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 - b i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.3.10.4.1.2

Factoriza $b$ de $- b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 + b (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.3.10.4.1.3

Factoriza $b$ de $b \cdot - 1 + b (- 1 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.3.10.4.2

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$a = \frac{b (- 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.3.10.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.3.10.6

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3}))}{2}$

Paso 6.3.10.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 (1 + i \sqrt{3}))}{2}$

Paso 6.3.10.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.3.11

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 7

El dominio son todos los valores de $a$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${a | a \neq 0}$